[論文レビュー] Height, Graded Relative Hyperbolicity and Quasiconvexity {\it (with Corrigendum)}

Dahmani, Francois, Mj, Mahan|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2016

Geometric and Algebraic Topology被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、双曲群における準凸性、相対的双曲群における相対的準凸性、および写像類群とOut(Fn)における凸コンパクト性を特徴付けるために、幾何的高さと段階的相対的双曲性を導入する。本稿は、部分群Hが準凸（または相対的準凸／凸コンパクト）であることと、ペア(G, {H})が飽和された幾何的段階的相対的双曲性を示すことの間に同値関係が成り立つことを確立しており、元の論文に見られた欠陥を是正した修正証明を提供する。

ABSTRACT

We introduce the notions of geometric height and graded (geometric) relative hyperbolicity in this paper. We use these to characterize quasiconvexity in hyperbolic groups, relative quasiconvexity in relatively hyperbolic groups, and convex cocompactness in mapping class groups and $Out(F_n)$. Corrigendum: there is an unfortunate mistake in the statement and the proof of Proposition 5.1. This affects one direction of the implications of the main theorem. A correction is given, that states that given a quasi-convex subgroup of a hyperbolic (or relatively hyperbolic) group, the graded relative hyperbolic structure holds with respect to saturations of I-fold intersections, that are stabilizers of limit sets of I-fold intersections.

研究の動機と目的

• 双曲群における有限代数的高さが準凸性を意味するかという未解決問題に取り組み、Bowditchのほぼ正規部分群に関する結果を拡張する。
• 双曲群に限らない準凸部分群の特徴付けを、相対的双曲群、写像類群、Out(Fn)へ一般化する。
• 準凸性および凸コンパクト性の既存の特徴付けを統一・強化するために、幾何的高さと段階的幾何的相対的双曲性の新概念を導入する。
• 電気的距離における相互コボンドネスに関する命題5.1の証明に起因する重大な誤りを是正し、主要定理の正当性を保証する。
• 複数の幾何的文脈において、準凸性（または関連する性質）と飽和された幾何的段階的相対的双曲性との間の正確な同値関係を確立する。

提案手法

• 語の距離におけるコセットの非有界交わりの最大数として幾何的高さを定義し、古典的な代数的高さの概念を一般化する。
• 相対的生成集合上の語の距離を用いて、部分群Hの共共役の交わりを段階的に電気化することで、段階的相対的双曲性を定義する。
• 粗い双曲的埋め込みと漸近的コーンを用いて、電気化における準凸性の保存を分析し、重要な技術的補題を証明する。
• 電気化空間に移行する際の準凸性の保存を保証するため、一様qi交わり性を確立する。
• 命題5.1の誤った証明を是正するため、部分群の飽和の概念を導入し、飽和部分群が自身の正規化群に等しいことを証明する。
• 修正された枠組みを適用して、双曲群、相対的双曲群、写像類群、Out(Fn)の4つの主要な幾何的文脈において、準凸性（または相対的準凸性／凸コンパクト性）が、飽和された幾何的段階的相対的双曲性と同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限幾何的高さおよび一様qi交わり性が、双曲群における準凸性を意味するか？
• RQ2 相対的双曲性による準凸部分群の特徴付けを、相対的双曲群、写像類群、Out(Fn)へ拡張できるか？
• RQ3 異なる幾何的文脈において、準凸性、相対的準凸性、凸コンパクト性を一様に捉える段階的相対的双曲性の概念は存在するか？
• RQ4 電気化距離における相相互コボンドネスの失敗が、以前の特徴付けを無効にしているのか、そしてもしそうなら、どのように是正できるか？
• RQ5 修正された枠組みは、より強い飽和された段階的相対的双曲性の概念を用いて、元の定理を回復できるか？

主な発見

• 本稿は、双曲群Gにおける部分群Hが準凸であることと、(G, {H})が飽和された幾何的段階的相対的双曲性を持つことの間に同値関係が成り立つことを確立した。
• 相対的双曲群では、Hが相対的準凸であることと、(G, {H}, d)が相対的生成集合に関して飽和された幾何的段階的相対的双曲性を持つことの間に同値関係が成り立つ。
• 写像類群では、Hが凸コンパクトであることと、(G, {H}, d)が飽和された幾何的段階的相対的双曲性を持ち、Hが曲線複体上に一様に適切に作用することの間に同値関係が成り立つ。
• Out(Fn)では、Hが凸コンパクトであることと、(G, {H}, d)が飽和された幾何的段階的相対的双曲性を持ち、Hが自由因子複体上に一様に適切に作用することの間に同値関係が成り立つ。
• 修正された証明により、部分群の飽和が自身の正規化群に等しいことが示され、電気化距離における相相互コボンドネスが保証された。
• 主定理、特に定理1.4および定理6.4は修正され、飽和された段階的相対的双曲性のバージョンで成立することが保証され、同値関係の正当性が回復された。