[論文レビュー] Heights and preperiodic points of polynomials over function fields

Robert L. Benedetto|ArXiv.org|Oct 20, 2005

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、関数体上の多項式に関して、標準的高さが0であることは、非等長的（non-isotrivial）である場合に限り、前周期的であることを確立する。すなわち、定数体上の多項式に共役化できない多項式である。主な結果は、非前周期的で標準的高さが0である点が存在しないこと、すなわち、写像が等長的（isotrivial）である場合を除いては、標準的高さ0の点が前周期的であることを示しており、関数体設定における北極の有限性原理の力学的類似を解消する。

ABSTRACT

Let K be a function field in one variable over an arbitrary field F. Given a rational function f(z) in K(z) of degree at least two, the associated canonical height on the projective line was defined by Call and Silverman. The preperiodic points of f all have canonical height zero; conversely, if F is a finite field, then every point of canonical height zero is preperiodic. However, if F is an infinite field, then there may be non-preperiodic points of canonical height zero. In this paper, we show that for polynomial f, such points exist only if f is isotrivial. In fact, such K-rational points exist only if f is defined over the constant field of K after a K-rational change of coordinates.

研究の動機と目的

• 関数体における標準的高さ0の点がいつ前周期的になるかを特定すること、特にグローバル体との対比において。
• 無限体上の関数体において、標準的高さ0 ⇔ 前周期的という同値関係が成立しない理由を解明すること。
• 等長的性が、高さ0の非前周期的点の存在に果たす役割を特定すること。
• 関数体上の力学系における前周期的点の有限性結果を拡張し、北極の定理に類似した結果を得ること。
• 関数体上の非等長的多項式が、数体における挙動と同様に、標準的高さ0 ⇔ 前周期的という条件を満たすことを証明すること。

提案手法

• Call-Silverman理論に従い、有理写像に関連する標準的高さの定義。
• 関数体の各場所における局所的力学の応用、特にフィルダ・ジュリア集合を用いた分析。
• 異なる場所におけるフィルダ・ジュリア集合に属する点の差を制御するための積の公式の適用。
• 良い還元、悪い還元、潜在的に良い還元のタイプの分析により、フィルダ・ジュリア集合の幾何的性質を制御。
• アフィン共役変換を用いた等長的性のテスト：ある写像が、K-有理的座標変換により定数体上に定義できる場合、等長的と呼ばれる。
• 異なる場所におけるフィルダ・ジュリア集合の共通部分に属するK-有理点の数を評価し、有限性を導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体上の多項式がどのような条件下で、標準的高さ0の点が前周期的でなくなるか。
• RQ2 等長的性が、高さ0の非前周期的点の存在に果たす正確な役割は何か。
• RQ3 無限体上の関数体において、標準的高さ0 ⇔ 前周期的という同値関係を回復できるか。
• RQ4 異なる場所におけるフィルダ・ジュリア集合の構造が、高さ0の有理点の存在にどのように制約を加えるか。
• RQ5 非等長的力学系における関数体上での前周期的点に対して、どのような有限性の上限を確立できるか。

主な発見

• 関数体上の非等長的多項式に関して、すべてのK-有理点で標準的高さ0の点は前周期的である。
• 多項式が非等長的であれば、標準的高さ0のK-有理点の集合は有限である。
• 多項式が等長的であれば、高さ0の非前周期的点が存在しうる。例として、φ(z) = z² over Q(T) が挙げられる。
• 悪還元の場所がs個あるとき、K-有理前周期的点の数はO(s log s)で有界であり、明示的な上限も与えられている。
• すべての場所でフィルダ・ジュリア集合に属するK-有理点が存在する場合、有限個でなければ積の公式に矛盾が生じることを示すことで、証明が成り立つ。
• この結果は、数体における北極型の有限性を非等長的写像にまで関数体設定で拡張し、数体の結果に類似した形で成立する。