[論文レビュー] Heights of Heegner points on Shimura curves

Shou-Wu Zhang|ArXiv.org|Jan 1, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、クンマー代数的整数環の非可換体のハッセ・ゼータ関数を用いて、完全実数体へのグロス＝ツァイガーおよびコリヴァギンの定理の一般化を、クレイマー代数的整数環のハッセ・ゼータ関数を用いて行う。特に、あるアーベル多様体のモーデル・ヴェイユ群のランクが、s=1におけるそのL関数の零点の位数に等しく、かつそのシャファレヴィッチ＝タイト群が、レベルおよび体次数に関する弱い条件下で有限であることを証明する。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to generalize some results of Gross-Zagier [20] and Kolvyvagin [28] to totally real fields.

研究の動機と目的

• Q から任意の完全実数体へのグロス＝ツァイガーおよびコリヴァギンの定理の拡張を図ること。
• 完全実体上のアーベル多様体の代数的ランクとL関数の解析的ランクとの間の関係を確立すること。
• 平行重さ2のヒルベルト新形式に付随するアーベル多様体のシャファレヴィッチ＝タイト群の有限性を証明すること。
• モーデル・ヴェイユ群を制御するために、シュムール曲線上のCM点からなるオイラー系を構成すること。
• ヤコブ＝ラングランドスの移行を用いて、ヒルベルトモジュラー形式の文脈へモジュラー形式およびL関数の理論を一般化すること。

提案手法

• 完全実体F上のシュムール曲線を、クレイマー代数的整数環Bの算術的部分群による上半平面の商として構成する。ここでBは、唯一のアーベル的場所を除き、すべてのアーベル的場所で非分解である。
• ヤコブ＝ラングランドス対応を用いて、GL2(AF) 上の新形式をBの乗法的群上の自動形式へ移行する。
• ヘッゲン点を、Nに対して分岐しないが、グロッセンキャラクターの符号条件を満たす、完全実体F上の虚二次拡大E/Fに関するCM点として定義する。
• エイクララー＝シュムール関係式およびグローバル交線理論を用いて、シュムール曲線のヤコビアンにおけるヘッゲン点の高さペアリングを計算する。
• アーベル的および非アーベル的交線理論（クリフォード代数およびリンク数を含む）を用いて、局所的およびグローバルな高さペアリングを計算する。
• ランキン＝セルバーグ法および正則射影を用いて、イーゼンスタイン級数のフーリエ係数とL関数およびその導関数の特別値との関係を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グロス＝ツァイガーおよびコリヴァギンの定理は、Q から完全実数体へ拡張可能か？
• RQ2 ヒルベルト新形式のL関数のs=1における零点の位数と、完全実体上の関連するアーベル多様体のモーデル・ヴェイユランクとの間の正確な関係は何か？
• RQ3 完全実体上のシュムール曲線上のCM点からなるオイラー系をどのように構成すれば、モーデル・ヴェイユ群を制御できるか？
• RQ4 完全実体上のシュムール曲線のヤコビアンの構造は何か？ また、自動形式L関数とどのように関係するか？
• RQ5 局所的およびグローバルな高さペアリングは、どのようにしてL関数の特別値および導関数を計算するか？

主な発見

• 平行重さ2、レベルK0(N) のヒルベルト新形式f に付随する完全実体F 上のアーベル多様体A のモーデル・ヴェイユランクは、[Of : Z] とs=1におけるL(s,f) の零点の位数の積に等しい。
• L関数L(s,f) がs=1で位数≤1の零点を持つならば、A のシャファレヴィッチ＝タイト群は有限である。
• 虚二次拡大の環類体上のCM点からなるオイラー系が、ヘッケ作用素の下での必要な整合性を満たすように構成された。
• シュムール曲線のヤコビアン上のヘッゲン点のグローバル高さペアリングは、ランキン＝セルバーグ法を用いてL関数の導関数を計算する。
• アーベル的および非アーベル的場所における局所的高さペアリングは、クリフォード代数およびリンク数を用いて計算され、高さのグローバルな公式が得られる。
• 高さペアリングの最終的な公式は、L関数の導関数と一致し、主な算術的・幾何的対応関係が確立された。