[論文レビュー] Heights on stacks and a generalized Batyrev-Manin-Malle conjecture

Jordan S. Ellenberg, Matthew Satriano+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、局所体上の代数的スタック上の有理点のための新しい高さの概念を導入し、多様体上の有理点のバティレーヴ＝マニン予想と、数体におけるマーレの予想の両方を一般化する。著者らはスタック上のベクトル束を用いて高さを定義し、分類スタック、対称べき、重み付き射影スタックといった重要な例について高さを計算し、有理点の有界高さにおける漸近的成長を予測する統一的な予想を提示する。

ABSTRACT

We define a notion of height for rational points with respect to a vector bundle on a proper algebraic stack with finite diagonal over a global field, which generalizes the usual notion for rational points on projective varieties. We explain how to compute this height for various stacks of interest (for instance: classifying stacks of finite groups, symmetric products of varieties, moduli stacks of abelian varieties, weighted projective spaces). In many cases our uniform definition reproduces ways already in use for measuring the complexity of rational points, while in others it is something new. Finally, we formulate a conjecture about the number of rational points of bounded height (in our sense) on a stack X, which specializes to the Baytev-Manin conjecture when X is a scheme and to Malle's conjecture when X is the classifying stack of a finite group.

研究の動機と目的

• スキームのように射影空間に埋め込めない代数的スタック上の有理点のための標準的な高さ定義の欠如に対処すること。
• ファノ多様体上の有界高さ有理点の古典的バティレーヴ＝マニン予想と、有界判別式の数体におけるマーレの予想を一般化すること。
• ベクトル束とそれらに関連する高さを用いて、スタック上の有理点の複雑さを測る一様な枠組みを提供すること。
• 有限群 $BG$、多様体の対称べき、アーベル多様体のモジュライスタック、重み付き射影スタックを含む、さまざまな重要なスタックについて、新しい高さ不変量を計算すること。
• スタック上の有界高さ有理点の数の漸近的カウントを予測する予想を提示すること。この予想は適切な場合にバティレーヴ＝マニン予想とマーレの予想に特殊化される。

提案手法

• 局所体上の固有で対角が有限な代数的スタック上の有理点に、ベクトル束を用いて高さ関数を定義し、射影多様体上のワイエルの高さを一般化する。
• スタックのスキームによる有限被覆への引き戻しを通じて、高さを構成するための「チューニングスタック」と「チューニング層」の概念を用いる。
• 異なる被覆やスタック構造の間での高さ定義の一貫性を保つために、局所的乖離補正を導入する。
• 具体的なスタックへの高さ定義の適用：有限群 $G$ の分類スタック $BG$、$B\mu_n$、多様体の対称べき、重み付き射影スタック、アーベル多様体のモジュライスタック。
• アラケロフ理論とスタック的曲線における交差理論を用いて、正則スキームによる有限平坦被覆を通じて、ラインバンドルおよびねじれ層の次数を定義する。
• スタック上の有界高さ有理点の数の漸近的成長に関する予想を提示し、その指数は「スタック的反標準高さ」と予想される変形次元によって決定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的スタック上の有理点のための高さ不変量を、多様体上の古典的高さと数体における判別式に基づく数え上げと両方一般化する方法は何か？
• RQ2 提案された高さ構成が、算術幾何における既存の特段の複雑さの概念と一致する場合はどのような場合か？
• RQ3 スタック上の有界高さ有理点の数の漸近的挙動は何か？ そして、バティレーヴ＝マニン予想とマーレの予想をどのように統一するか？
• RQ4 スタック的曲線および高次元スタックの文脈において、高さは引き戻しや有限写像の下でどのように振る舞うか？
• RQ5 予想される変形次元（edd）は、スタック上の有理点の数の成長率を予測する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 提案された高さ構成は、射影多様体上の古典的ワイエル高さを一般化し、$BG$ や重み付き射影スタック上の既知の高さ概念を回復する。
• 有限群 $G$ の分類スタック $BG$ に対して、高さ関数は $G$-拡張の判別式に対応し、数体の数え上げにおけるマーレの予想を回復する。
• $\mathbb{P}^n$ の対称べきに対しては、高さ関数は標準的な高さ定義と一致し、予想は $cB^{a}(\log B)^b$ の形の漸近的成長を予測する。
• 重み付き射影スタックでは、高さ関数は邓（Deng）およびベシャジュ＝ギュテルス＝シャーカによる既存の定義と一致し、既知の事例での構成の妥当性が裏付けられる。
• 予想は、予想される変形次元（edd）が負のとき、有界高さ有理点の数が有限であることを予測しており、ラング＝ヴォイタ予想のスタック的類似を示唆する。
• 定義 B.5 の次数正規化により、有限平坦被覆の選択に依存しない高さが適切に定義されており、スタック上の算術的交差理論における一貫性が保証される。