[論文レビュー] Heisenberg homology on surface configurations

Christian Blanchet, Martin Palmer+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2021

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、境界成分が1つの genus-$g$ 表面の写像類群の新しいホモロジー的表現を、離散ヒーゼンベルク群から導かれる局所系を備えた順序なし配置空間のねじれホモロジーを用いて提示する。表面のブールド群の非アーベル的構造を活用することで、ねじれ表現および非ねじれ表現を構成し、シュレーディンガー表現を介したユニタリ表現と、その安定的普遍的中心拡大への上昇も得られる。

ABSTRACT

Motivated by the Lawrence-Krammer-Bigelow representations of the classical braid groups, we study the homology of unordered configurations in an orientable genus-$g$ surface with one boundary component, over non-commutative local systems defined from representations of the discrete Heisenberg group. Mapping classes act on the local systems and for a general representation of the Heisenberg group we obtain a representation of the mapping class group that is twisted by this action. For the linearisation of the affine translation action of the Heisenberg group we obtain a genuine, untwisted representation of the mapping class group. In the case of the generic Schrödinger representation, by composing with a Stone-von Neumann isomorphism we obtain a projective representation by bounded operators on a Hilbert space, which lifts to a representation of the stably universal central extension of the mapping class group. We also discuss the finite dimensional Schrödinger representations, especially in the even case. Based on a natural intersection pairing, we show that our representations preserve a sesquilinear form.

研究の動機と目的

• 非アーベル的局所系を用いて、 Lawrence-Krammer-Bigelow 表現を高 genus 表面へ一般化すること。
• 平面的でない表面では完全な巻き数情報を検出できないアーベル的局所系の制限を克服すること。
• 離散ヒーゼンベルク群を局所系のベースとして用いて、写像類群の忠実で有限次元の表現を構成すること。
• 特にシュレーディンガー表現およびその中心拡大への上昇を通じて、得られる表現の忠実性と線形性を調査すること。

提案手法

• 表面のブールド群 $\pi_1(\mathcal{C}_n(\Sigma))$ の商としての離散ヒーゼンベルク群 $\mathcal{H}(\Sigma)$ を用い、非アーベル的巻き数情報を保持する。
• $\mathcal{H}(\Sigma)$ の表現を用いて、配置空間 $\mathcal{C}_n(\Sigma_{g,1})$ 上に局所系を定義し、ねじれホモロジー作用を可能にする。
• 一般のヒーゼンベルク群の表現から、写像類群 $\mathfrak{M}(\Sigma_{g,1})$ のねじれ表現を構成する。
• ヒーゼンベルク群のアフィン平行移動作用の線形化により、 $\mathfrak{M}(\Sigma_{g,1})$ の真の非ねじれ表現を得る。
• シュレーディンガー表現に Stone-von Neumann 同型を適用し、射影的ユニタリ表現を得る。
• この射影的表現を、 $\mathfrak{M}(\Sigma_{g,1})$ の安定的普遍的中心拡大のユニタリ表現へ上昇させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベル的局所系を用いて、 Lawrence-Krammer-Bigelow の構成を高 genus 表面へ一般化できるか？
• RQ2 表面のブールド群のヒーゼンベルク商は、幾何的交点を検出でき、忠実な表現を支えるのに十分な位相的情報を保持しているか？
• RQ3 ヒーゼンベルク群のシュレーディンガー表現は、ホモロジー的手法を通じて写像類群のユニタリ表現をもたらすか？
• RQ4 ヒーゼンベルク局所系を用いた配置空間のねじれホモロジーへの写像類群の作用は、忠実か？
• RQ5 得られる表現は、写像類群の中心拡大のユニタリ表現へ上昇可能か？

主な発見

• 著者らは、離散ヒーゼンベルク群 $\mathcal{H}(\Sigma)$ の任意の表現から、写像類群 $\mathfrak{M}(\Sigma_{g,1})$ のねじれ表現を構成した。
• ヒーゼンベルク群のアフィン平行移動作用の線形化により、 $\mathfrak{M}(\Sigma_{g,1})$ の真の非ねじれ表現が得られた。
• Stone-von Neumann 同型を合成することで、シュレーディンガー表現の場合に、 $\mathfrak{M}(\Sigma_{g,1})$ の射影的ユニタリ表現が得られた。
• この射影的表現は、 $\mathfrak{M}(\Sigma_{g,1})$ の安定的普遍的中心拡大のユニタリ表現へ上昇した。
• アーベル的局所系では非平面的表面で巻き数を mod 2 のみ検出できるのに対し、本構成では巻き数情報の損失を回避した。
• 論文では、代数的および幾何的交点形式の関係を示す重要な補題を用いて、表現の忠実性が示せると予想している。