[論文レビュー] Heisenberg invariant quartics and SU_C(2) for a curve of genus four

W. M. Oxbury, Christian Pauly|ArXiv.org|Mar 21, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、種数4の曲線 $C$ 上の半安定なランク2ベクトル束で判別式が自明なもののモジュライ空間 $Σ_C(2)$ の幾何を調査し、その写像 $φ: Σ_C(2) \to |2\Theta|$ による像が、$\mathbb{P}^{15}$ 内の唯一の既約ヘイゼンベルク不変四次曲面 $Q_C$ の特異点集合に含まれることを示す。主な結果として、$C$ が消えるシータ・ノルを持たないとき、$Q_C$ の存在と一意性が立方正規性およびヴェルリンデの公式を用いた議論により確立され、高次セカント多様体やプリム多様体の構造に関する知見が得られる。

ABSTRACT

If C is a curve of genus 4 without vanishing theta-nulls then there exists a unique (irreducible) Heisenberg-invariant quartic Q_C in |2Θ| = P^{15} such that Sing Q_C contains the image of SU_C(2), the moduli space of rank 2 vector bundles with trivial determinant. Moreover, in each eigen-P^7 of the Heisenberg action on |2Θ|, Q_C restricts to the classical Coble quartic of the corresponding Prym-Kummer variety. We compare Q_C with the hypersurface G_3 in |2Θ| of divisors containing a translate of C in J(C), and show that in the eigen-P^7s G_3 recovers Beauville--Debarre's quadrisecant planes of the Prym-Kummers (this works for any genus). Using the Recillas construction this enables us to deduce, contrary to the analogous result for genus 3, that Q_C and G_3 are distinct.

研究の動機と目的

• 種数2および3の曲線に対する Narasimhan–Ramanan の結果を種数4に拡張すること。
• ヘイゼンベルク不変四次曲面を用いて、$|2\Theta| \cong \mathbb{P}^{15}$ 内の $\phi(\mathcal{SU}_C(2))$ の像を特徴付けること。
• $\phi(\mathcal{SU}_C(2))$ が、種数3におけるコブレ四次曲面と類似する、ある標準的四次曲面 $Q_C$ の特異点集合に一致するかどうかを調査すること。
• $\mathcal{SU}_C(2)$ と、$W_{g-d}$ の平行移動によって定義されるヘイゼンベルク不変多様体 $G_d \subset |2\Theta|$ 間の関係を分析すること。
• Recillas対応を用いて、$Q_C$ と $G_3$ を2次元点 $\eta \in J_C[2]$ に対応するプリム多様体 $P_\eta$ に制限し、既知のセカント平面構造と比較すること。

提案手法

• 幾何学的およびコhomオロジー的技法を用いて、$\mathbb{P}^{15}$ 内の $\phi(\mathcal{SU}_C(2))$ の立方正規性を証明すること。
• ヴェルリンデの公式を適用し、$\phi(\mathcal{SU}_C(2))$ 上に正確に16個の独立した立方多項式が消失することを示すこと。
• ヘイゼンベルク作用の対称性を用いて、これらの立方多項式が単一の既約四次曲面 $Q_C$ の全微分に相当することを導き、$Q_C$ の一意性を確立すること。
• $J_C[2]$ の作用による固有平面 $|2\Xi| \subset \mathbb{P}^7$ への、$|2\Theta| \cong \mathbb{P}^{15}$ の制限を行い、それらをプリム多様体の $|2\Theta|$ と同一視すること。
• Beauville–Debarre のプリム・カマーマニフォールドの四次セカント平面に関する結果を用い、$|2\Xi|$ への $G_3$ と $Q_C$ の制限を比較し、それらが異なることを示すこと。
• $\mathrm{Kum}(J) \subset G_2 \subset \phi(\mathcal{SU}_C(2)) \subset G_3 \subset \mathbb{P}^{15}$ のフィルトレーションを構成すること。ここで $G_2$ は4次元平面によって張られる除法的多様体であり、$G_3$ は10次元平面によって張られる多様体であり、任意のシータ特徴量に関して双対的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 種数4の曲線 $C$ が消えるシータ・ノルを持たないとき、$\phi(\mathcal{SU}_C(2))$ を特異点集合に含む唯一の既約ヘイゼンベルク不変四次曲面 $Q_C \subset \mathbb{P}^{15}$ が存在するか？
• RQ2 $\phi(\mathcal{SU}_C(2))$ は $Q_C$ の特異点集合に一致するか、すなわちそのイデアルが立方多項式によって生成されるか？
• RQ3 種数4における $W_{g-d}$ の平行移動によって定義される多様体 $G_d \subset |2\Theta|$ は、$\mathcal{SU}_C(2)$ および $Q_C$ とどのように関係するか？
• RQ4 2次元点 $\eta \in J_C[2]$ に対応するプリム多様体 $P_\eta$ の $|2\Xi|$ への制限において、$Q_C$ と $G_3$ の挙動はいかなるものか？
• RQ5 種数3のプリム多様体において既知の四次セカント平面が存在するが、それらは $|2\Xi|$ への $G_3$ の制限と一致するか？

主な発見

• 非双曲的で消えるシータ・ノルを持たない種数4の曲線 $C$ に対して、$\phi(\mathcal{SU}_C(2)) \subset \mathrm{Sing}(Q_C)$ を満たす唯一の既約ヘイゼンベルク不変四次曲面 $Q_C \subset \mathbb{P}^{15}$ が存在する。
• $\phi(\mathcal{SU}_C(2))$ は $\mathbb{P}^{15}$ 内で立方正規であり、ヴェルリンデの公式により、正確に16個の独立した立方多項式がその上に消失する。
• これらの立方多項式は単一の四次曲面 $Q_C$ の全微分に相当するため、$Q_C$ は一意的かつ既約的である。
• $Q_C$ の各 $|2\Xi| \subset \mathbb{P}^{15}$ への制限（$\eta \in J_C[2]$ で固定）は、プリム・カマーマニフォールド $\mathrm{Kum}(P_\eta)$ のコブレ四次曲面に一致する。
• $G_3$ の $|2\Xi|$ への制限は、$\mathrm{Kum}(P_\eta)$ の4パラメータ族の四次セカント平面によって張られる超曲面であり、コブレ四次曲面とは異なる。
• フィルトレーション $\mathrm{Kum}(J) \subset G_2 \subset \phi(\mathcal{SU}_C(2)) \subset G_3 \subset \mathbb{P}^{15}$ が成り立ち、$G_2$ は4次元平面によって張られる除法的多様体であり、$G_3$ は10次元平面によって張られる多様体であり、任意のシータ特徴量に関して双対的である。