[論文レビュー] Heisenberg VOAs over Fields of Prime Characteristic and Their Representations

Haisheng Li, Qiang Mu|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、素数の特徴を持つ体上のヘイゼンベルク頂点代数を研究し、それらがもはや単純でないことを示し、一連の単純な商頂点代数 $L_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0,\lambda)$ を構成する。また、これらの代数上のすべての加群が完全に可約であることを証明し、随伴加群が同型を除いて一意の既約加群であることを示し、正の特徴を持つアフィンヘイゼンベルクリー代数の加群のカテゴリに対して完全可約性定理を確立する。

ABSTRACT

In this paper, we study Heisenberg vertex algebras over fields of prime characteristic. The new feature is that the Heisenberg vertex algebras are no longer simple unlike in the case of characteristic zero. We then study a family of simple quotient vertex algebras and we show that for each such simple quotient vertex algebra, irreducible modules are unique up to isomorphism and every module is completely reducible. To achieve our goal, we also establish a complete reducibility theorem for a certain category of modules over Heisenberg algebras.

研究の動機と目的

• 素数特徴体上のヘイゼンベルク頂点代数の構造を調査し、特徴が 0 とは異なり単純でない場合を対象とする。
• 最大の $\widehat{\mathfrak{h}}$-部分加群による商 $V_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0)$ から、単純な商頂点代数 $L_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0,\lambda)$ を構成し分類する。
• 正の特徴におけるアフィンヘイゼンベルクリー代数の特定のカテゴリの加群に対して完全可約性定理を確立する。
• 特に既約加群の一意性と完全可約性に注目して、単純な商頂点代数の表現理論を分析する。

提案手法

• 頂点代数 $V_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0)$ を、真空ベクトル $\mathbf{1}$ によって生成される $\widehat{\mathfrak{h}}$-加群として定義する。ここで $\mathbf{k} \cdot \mathbf{1} = \ell \mathbf{1}$ かつ $(\mathfrak{h} \otimes \mathbb{F}[t]) \mathbf{1} = 0$ である。
• 関数型 $\lambda \in (\widehat{\mathfrak{h}}_+)^*$ を用いて、最大の $\widehat{\mathfrak{h}}$-部分加群 $J(\lambda)$ を構成する。生成子は $u \in \mathfrak{h}, n \geq 1$ に対して $u(-np) - \lambda(u(-np))$ および $(u(-n) - \lambda(u(-n)))^p$ である。
• $J(\lambda)$ が最大の $\widehat{\mathfrak{h}}$-部分加群であり、かつ $\lambda(u(-n)) = 0$ をすべての $n \geq 2$ に対して満たす場合に限り頂点代数のイデアルであることを証明し、これにより単純な商 $L_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0,\lambda)$ を得る。
• セガール＝スガワラ構成を用いて、コンformal ベクトル $\omega = \frac{1}{2\ell} \sum_{i=1}^d u^{(i)}(-1)u^{(i)}(-1)\mathbf{1}$ を定義し、$V_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0)$ に中央指数 $d = \dim \mathfrak{h}$ の頂点 operator 代数の構造を与える。
• ヘイゼンベルク部分代数 $\widehat{\mathfrak{h}}'' = \sum_{n \notin p\mathbb{Z}} \mathfrak{h} \otimes \mathbb{F}t^n + \mathbb{F}\mathbf{k}$ の作用を分析することで、$\widehat{\mathfrak{h}}$-加群の完全可約性定理を確立する。
• $\mathbb{Z}$-次数と $L(0)$-固有値分解を活用して、$L_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0,\lambda)$ の次数構造を分析し、$J(\ell,\lambda)$ が $L(0)$-安定であることを示し、$\lambda \neq 0$ の場合に $\mathbb{Z}_p$-次数が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数特徴体上のヘイゼンベルク頂点代数は、特徴が 0 の場合と比べて単純性や構造においてどのように異なるか？
• RQ2 $V_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0)$ の最大の $\widehat{\mathfrak{h}}$-部分加群は何か？ そして、いつ頂点代数のイデアルであるか？
• RQ3 単純な商頂点代数 $L_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0,\lambda)$ の表現理論は何か？ 特に完全可約性と既約加群の一意性について。
• RQ4 アフィンヘイゼンベルク代数 $\widehat{\mathfrak{h}}'$ に無限次元の中心が存在する場合、正の特徴における表現理論にどのような影響を与えるか？
• RQ5 アフィンヘイゼンベルクリーアルゲブラの加群に対して、完全可約性定理を素数特徴で確立できるか？ そして、その定理は頂点代数表現の構造をどのように支援するか？

主な発見

• 頂点代数 $V_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0)$ は、$\widehat{\mathfrak{h}}'$ の無限次元中心のおかげで、素数特徴では単純ではなく、無限個の最大イデアルを含む。
• 最大の $\widehat{\mathfrak{h}}$-部分加群 $J(\lambda)$ は、$u \in \mathfrak{h}, n \geq 1$ に対して $u(-np) - \lambda(u(-np))$ および $(u(-n) - \lambda(u(-n)))^p$ で生成され、すべての最大 $\widehat{\mathfrak{h}}$-部分加群を尽くす。
• 商 $L_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0,\lambda)$ が単純な頂点代数であるための必要十分条件は、すべての $u \in \mathfrak{h}$ および $n \geq 2$ に対して $\lambda(u(-n)) = 0$ であることであり、これにより $J(\lambda)$ が頂点代数のイデアルであることが保証される。
• すべての $L_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0,\lambda)$-加群は、関連する $\widehat{\mathfrak{h}}$-加群のカテゴリに対する完全可約性定理によって、完全に可約であることが示された。
• 随伴加群 $L_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0,\lambda)$ は、同型を除いて唯一の既約加群であるため、すべての既約加群は随伴加群と同型である。
• $\ell \in \mathbb{F}^\times$ のとき、商 $L_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0,0)$ は中央指数 $d = \dim \mathfrak{h}$ の単純な頂点 operator 代数であるが、$\lambda \neq 0$ のとき $L_{\widehat{\mathfrak{h}}}(\ell,0,\lambda)$ は $J(\ell,\lambda)$ が次数不変でないため、頂点 operator 代数ではない。