[論文レビュー] Henon mappings in the complex domain II: projective and inductive limits of polynomials

John H. Hubbard, Ralph W. Oberste-Vorth|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 1994

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用数 75

ひとこと要約

本稿は、多項式 $p$ が双曲的でパラメータ $a$ が小さいとき、複素 Hénon 写像における不変集合 $K_+$, $J_+$, $K$, $J$ の位相的構造を特徴づける。$p$ によって定義される力学系の射影的および帰納的極限を用いて、これらの集合を位相的極限として記述し、特定の条件下でジュリア集合 $J$ と吸引域の境界が Lakes of Wada 性質を示すことを明らかにする。

ABSTRACT

Let H: C^2 -> C^2 be the Henon mapping given by (x,y) --> (p(x) - ay,x). The key invariant subsets are K_+/-, the sets of points with bounded forward images, J_+/- = the boundary of K_+/-, J = the union of J_+ and J_-, and K = the union of K_+ and K_-. In this paper we identify the topological structure of these sets when p is hyperbolic and |a| is sufficiently small, ie, when H is a small perturbation of the polynomial p. The description involves projective and inductive limits of objects defined in terms of p alone.

研究の動機と目的

• 複素領域における Hénon 写像の不変集合 $K_\pm$, $J_\pm$, $K$, $J$ の位相的構造を理解すること。
• 双曲的多項式力学の理論を、$p$ の小さな摂動としての Hénon 写像によって拡張すること。
• 非単射な多項式と双曲的 Hénon 写像の間の矛盾を、射影的および帰納的極限による双曲的力学系の構成によって解消すること。
• 吸引域の境界構造を特徴づけ、特にそれがいつ Lakes of Wada を形成するかを特定すること。
• 双曲的多項式で $|a|$ が小さいとき、Hénon 写像の不変集合が $p$ のみによって定義される系の極限として生じることを確立すること。

提案手法

• 射影極限 $\hat{\mathbb{C}}_p = \varprojlim(\mathbb{C}, p)$ を構成し、$p$ における後退軌道からなるもので、$\hat{p}$ が前画像の列に沿ってシフト作用をもつ双曲的力学系を支える。
• 多項式 $p$ が双曲的で $|\alpha|$ が小さいとき、$f_{p,\alpha,R}$ と呼ばれる持ち上げ写像を用いて、$\check{\mathbb{C}}_p = \varinjlim(J_p \times D, f_{p,\alpha,R})$ として帰納極限を定義し、単射性と開性を保つ。
• 帰納極限の構成を用いて、Hénon 写像における周期点の安定多様体をモデル化し、特に吸引的周期軌道に対して有効である。
• $\check{\mathbb{R}}_p$ から $\mathbb{R}^2$ 内の吸引域の到達可能境界へのホメオモルフィズム $\Phi_+$ を確立し、実力学系と複素 Hénon 構造を結びつける。
• 逆極限および力学系の理論を適用し、$p$ がマンデルブロ集合に稠密であるとき、吸引域の境界が $J_+ \cap \mathbb{R}^2$ に稠密であることを示す。
• アレクサンダー双対性を用いて、$J_+ \cap \mathbb{R}^2$ の一点コンactification のコhomology を分析し、位相的不変量と力学的周期を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式 $p$ が双曲的で $|a|$ が小さいとき、Hénon 写像の不変集合 $K_\pm$, $J_\pm$, $K$, $J$ はどのように位相的に特徴づけられるか？
• RQ2 射影的および帰納的極限の構成によって、多項式の非単射性と Hénon 写像の双曲的力学の間に矛盾を解消できるか？
• RQ3 Hénon 写像における吸引域の境界がいつ Lakes of Wada 性質を示すか？
• RQ4 帰納極限構成 $\check{\mathbb{C}}_p$ は、Hénon 写像における周期点の安定多様体構造をどのようにモデル化するか？
• RQ5 同じ周期だが異なる kneading 列をもつ Hénon 写像を区別するための位相的不変量は何か？

主な発見

• 射影極限 $\hat{\mathbb{C}}_p$ は、$p$ の前画像の列をモデル化する双曲的力学系を提供し、$\hat{p}$ はその列に沿ってシフト作用をもつ。
• 多項式 $p$ が双曲的で $|\alpha|$ が小さいとき、$\check{\mathbb{C}}_p = \varinjlim(J_p \times D, f_{p,\alpha,R})$ は、$J_p$ に臨界点が存在しないため、適切に定義され、ハウスドルフ空間である。
• $\mathbb{R}^2$ 内の各吸引域の到達可能境界は $J_+ \cap \mathbb{R}^2$ に稠密であり、すべての吸引域が共通の境界を持つことを示唆する。
• $p$ がマンデルブロ集合に稠密であるとき、$J_+ \cap \mathbb{R}^2$ の一点コンactification $X_{p,a}$ に対して $\check{H}^1(X_{p,a}, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}^k$ が成り立ち、ここで $k$ は吸引的周期軌道の周期である。
• 帰納極限の構成により、$\check{\mathbb{R}}_p$ にフラクタルに似た構造が生じ、区間をつなぐ弧が $p$ の kneading 列を反映する形で配置され、同じ周期でも異なる組み合わせ的性質を持つ写像の間の位相的差異を示唆する。
• 本稿は、吸引的 3-周期を持つ実二次多項式に対して、帰納極限の構成が Lakes of Wada を類似する構造を生じさせることを示しており、複数の吸引域が共通の境界を持つ。