[論文レビュー] Hereditarily non-topologizable groups

Gábor Lukács|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2006

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、すべての部分商が非位相化可能である群である「遺伝的に非位相化可能な群」を調査し、可算離散群におけるc-コンパクト性とその同値性を確立する。このような群は有限である必要があることが証明され、位相群論における長年の未解決問題を解決するとともに、群論的性質と位相空間におけるコンパクト性を結びつける。

ABSTRACT

A group G is non-topologizable if the only Hausdorff group topology that G admits is the discrete one. Is there an infinite group G such that H/N is non-topologizable for every subgroup H <= G and every normal subgroup N

研究の動機と目的

• 無限大の遺伝的に非位相化可能な群が存在するかを特定すること。
• このような群の存在を、位相群におけるc-コンパクト性の未解決問題と結びつけること。
• 導来系列と有限指数部分群を用いて、遺伝的に非位相化可能な群に対する代数的制約を確立すること。
• 可算な遺伝的に非位相化可能な群が有限であることを示し、c-コンパクト性問題の特殊ケースを解決すること。

提案手法

• DikranjanとUspenskijの結果から導かれる、可算離散群におけるc-コンパクト性と遺伝的な非位相化可能性の同値性を利用する。
• アーベル商へのボールト位相を適用し、唯一のハウスドルフ群位相として離散位相をもつのは有限アーベル群に限ることを示す。
• 部分商のプロ有限完備化を用いて、すべての有限指数正規部分群の共通部分集合が有限指数を持つことを示す。
• 導来系列に関する帰納法を用いて、任意の部分群の導来長が有限であり、かつ導来系列が安定化することを証明する。
• 遺伝的に非位相化可能な群では、任意の部分商における唯一のハウスドルフ群位相が離散位相であることを利用する。
• Kuratowski-Mrówkaの定理とSIN群の性質を応用し、c-コンパクト性問題を可算離散の場合に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての部分商が非位相化可能であるような無限大の群が存在するか？
• RQ2 任意の可算な遺伝的に非位相化可能な群は有限であるか？
• RQ3 遺伝的に非位相化可能な群は、位相群におけるc-コンパクト性とどのように関係しているか？
• RQ4 遺伝的に非位相化可能な群が必然的に持つべき代数的構造は何か？
• RQ5 局所コンパクトSIN群のc-コンパクト性は、可算離散の場合に還元可能か？

主な発見

• 可算離散群は、c-コンパクトであることと、遺伝的に非位相化可能であることとが同値である。
• 任意の遺伝的に非位相化可能な群は、自身の交換子群に等しい最小の有限指数正規部分群を持つ。
• 遺伝的に非位相化可能な群の任意の部分群Hに対して、すべてのk ∈ ℕについてH^(k)はHにおいて有限指数を持つ。
• 任意の部分群の導来系列は、有限ステップで安定化する。つまり、あるn ∈ ℕに対してH^(n) = H^(n+1)が成り立つ。
• 部分群Hが可解であれば、Hは有限でなければならない。なぜなら、無限大の導来部分群の降下列を持つことはできないからである。
• 無限大の遺伝的に非位相化可能な群の存在は、コンパクトでない無限大のc-コンパクト群の存在を意味し、可算の場合の既知の同値性に矛盾する。