[論文レビュー] Hereditarily normal manifolds of dimension > 1 may all be metrizable

Alan Dow, Franklin D. Tall|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、一般位相における長年の問題を解決する。PFA(S)[S]の公理の下で、次元が1より大きい任意の部分空間が可分な多様体は、追加の仮定（例えば、部分空間が可分なハウスドルフ空間であることや大基数公理）を必要とせずに、すべて距離化可能であることを証明している。著者らは、P22、CW、PPI+、b > ω₁を含む強力な集合論的公理（GA）の論理的積が距離化可能性を示すことを示し、その後、一貫性のあるスーリン木と可算台所反復を用いた強制拡張を構成することで、GAを満たすモデルを構築する。

ABSTRACT

P.J. Nyikos has asked whether it is consistent that every hereditarily normal manifold of dimension > 1 is metrizable, and proved it is if one assumes the consistency of a supercompact cardinal, and, in addition, that the manifold is hereditarily collectionwise Hausdorff. We are able to omit these extra assumptions.

研究の動機と目的

• 次元>1の部分空間が可分な多様体が、ある一貫した集合論的枠組みにおいて距離化可能であるかどうかという、P. J. ニキオスの長年の問いを解消すること。
• 部分空間が可分なハウスドルフ空間であることや、超コンパクト基数を含む追加仮定が、これまでの部分的解決策で必要とされていたのを排除すること。
• Sが一貫性のあるスーリン木であるとき、PFA(S)[S]が、次元>1のすべての部分空間が可分な多様体が距離化可能であることを示すことを示すこと。
• b > ω₁、CW、PPI+、P22を含む公理群（GA）の整合性を特定・確立し、それらが距離化可能性結果を共同で示すことを示すこと。

提案手法

• 一貫性のあるスーリン木Sを持つモデル上での、長さω₂の可算台所反復を構成し、Sを保存し、b = ω₂を保証する強制順序を用いる。
• 各段階α < ω₂において、名前h(α)がP-イデアルを符号化し、静的集合条件を満たす場合（ケース1）、λ上の位相が有限部分被覆を持たない場合（ケース2）、それ以外はコーエン強制を用いる（ケース3）。
• 初等部分モデルとクラブ集合を用いて、S²₁ ∩ Cに属する段階λにおいて、名前h(λ)がケース（1）または（2）の条件を満たすことを特定し、強制拡張がP22およびPPI+を満たすことを保証する。
• PFA(S)[S]がコンパクトで可分かつ部分空間が可分なハウスドルフ空間が部分空間が可分なLindelöf空間であることを示す事実を活用し、部分空間が可分な多様体の可分部分集合がLindelöfかつ距離化可能であることを示す。
• P-イデアル二分法（P22）とPPI+原理を用いて、任意の逐次的コンパクトで非コンパクトな正則空間が非可算な自由列を含むこと、さらに第一可算であればω₁のコピーを含むことを示す。
• GA（b > ω₁、CW、PPI+、P22）の整合性を大基数を仮定せずに確立し、GAが次元>1のすべての部分空間が可分な多様体が距離化可能であることを示すことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元>1の部分空間が可分な多様体が、部分空間が可分なハウスドルフ空間や大基数を仮定せずに、ある一貫した集合論的枠組みにおいて距離化可能であることは可能か？
• RQ2 PFA(S)[S]という強制公理を用いて、次元>1の部分空間が可分な多様体が距離化可能であることを導けるか？
• RQ3 b > ω₁、CW、PPI+、P22（GA）の論理的積が、次元>1のすべての部分空間が可分な多様体が距離化可能であることを示すか？
• RQ4 ω₁におけるP-イデアル二分法を強化するP22原理は、大基数仮定なしに整合的か？
• RQ5 一貫性のあるスーリン木と可算台所反復を用いた強制構成によって、次元>1のすべての部分空間が可分な多様体が距離化可能であるモデルを構築できるか？

主な発見

• PFA(S)[S]は、次元が1より大きいすべての部分空間が可分な多様体が距離化可能であることを示す。
• b > ω₁、CW、PPI+、P22を含む公理群GAは、次元>1のすべての部分空間が可分な多様体が距離化可能であることを示す。
• GAの整合性は大基数仮定を必要とせず確立された。
• 一貫性のあるスーリン木を持つモデル上での長さω₂の可算台所反復による強制構成により、b = ω₂であり、拡張でP22およびPPI+が成り立つことが保証された。
• GAの下で、部分空間が可分な多様体の可分部分集合がLindelöfかつ距離化可能であることが示された。これは主結果への重要なステップである。
• 初等部分モデルとクラブ集合を用いて、反復の各段階でP22およびPPI+に必要な条件を満たす強制順序が存在する段階を同定した。