[論文レビュー] Hereditary Graph Classes: When the Complexities of Colouring and Clique Cover Coincide

Alexandre Blanché, Konrad K. Dabrowski+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$(H, \overline{H})$-free 図形における Colouring および Clique Cover の計算複雑性を分類し、補数閉包性により両問題の複雑性が同一であることを示している。ほとんどの場合が解決されており、残りの未解決ケースは $sP_1 + P_3$（$s \geq 3$）および $sP_1 + P_4$（$s \geq 2$）に限られ、$(P_6, \overline{P_1 + P_6})$-free 図形における 5-Colouring が NP-完全であることを確立している。

ABSTRACT

A graph is $(H_1,H_2)$-free for a pair of graphs $H_1,H_2$ if it contains no induced subgraph isomorphic to $H_1$ or $H_2$. In 2001, Král', Kratochv\'ıl, Tuza, and Woeginger initiated a study into the complexity of Colouring for $(H_1,H_2)$-free graphs. Since then, others have tried to complete their study, but many cases remain open. We focus on those $(H_1,H_2)$-free graphs where $H_2$ is $\overline{H_1}$, the complement of $H_1$. As these classes are closed under complementation, the computational complexities of Colouring and Clique Cover coincide. By combining new and known results, we are able to classify the complexity of Colouring and Clique Cover for $(H,\overline{H})$-free graphs for all cases except when $H=sP_1+ P_3$ for $s\geq 3$ or $H=sP_1+P_4$ for $s\geq 2$. We also classify the complexity of Colouring on graph classes characterized by forbidding a finite number of self-complementary induced subgraphs, and we initiate a study of $k$-Colouring for $(P_r,\overline{P_r})$-free graphs.

研究の動機と目的

• $(H, \overline{H})$-free 図形における Colouring および Clique Cover の複雑性を分類し、補数閉包性により両問題が一致することを示す。
• $H_2 = \overline{H_1}$ かつ $H_1$ が自己補数でない場合の $(H_1, H_2)$-free 図形における Colouring の複雑性分類の未解決ケースを解消する。
• 有限個の自己補数な誘導部分グラフを禁じるグラフクラスに分類を拡張する。
• $(P_r, \overline{P_r})$-free 図形における $k$-Colouring の研究を開始するが、特に $r=6$ を対象とする。
• 3-SAT からの還元を用いて、$(P_6, \overline{P_1 + P_6})$-free 図形における 5-Colouring が NP-完全であることを証明する。この還元では、$P_6$-free な 4-臨界グラフ $H$ を用いてグラフ $G_{H,I}$ を構成する。

提案手法

• $(H, \overline{H})$-free 図形クラスの補数閉包性を活用し、Colouring と Clique Cover の複雑性が等しいことを示した。
• 既知の $H$-free 図形に関する結果と新しい構成を組み合わせ、$(H, \overline{H})$-free 図形の複雑性を分類した。
• 3-SAT からの還元を用いて 5-Colouring の NP-完全性を証明し、$P_6$-free な 4-臨界グラフ $H$ をもとにグラフ $G_{H,I}$ を構成した。
• 誘導部分グラフの構造的解析を用いて、$G_{H,I}$ が $P_6$ および $\overline{P_1 + P_6}$ を含まないことを示し、還元の有効性を保証した。
• 構成における頂点タイプ（C, D, X, U）を分析し、可能な頂点集合のケース別解析を通じて、$\overline{P_1 + P_6}$ の誘導部分グラフの存在を除外した。
• ラマジー的推論と誘導部分グラフの列挙を用いて、禁止部分グラフの存在を仮定した場合の矛盾を導出した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグラフ $H$ に対して、$(H, \overline{H})$-free 図形上での Colouring が多項式時間で解けるか？
• RQ2 $(P_r, \overline{P_r})$-free 図形における $k$-Colouring の複雑性は何か。特に $r=6$ の場合について。
• RQ3 既知の分類が適用された後も、$H_2 = \overline{H_1}$ を満たす $(H_1, H_2)$-free 図形クラスで未解決のものはどれか？
• RQ4 補数性について閉じたグラフクラスに対して、Colouring の複雑性を完全に分類できるか？
• RQ5 $(P_6, \overline{P_1 + P_6})$-free 図形において 5-Colouring は NP-完全か？

主な発見

• $(H, \overline{H})$-free 図形において、補数閉包性により Colouring と Clique Cover の複雑性が一致する。
• $(H, \overline{H})$-free 図形において、$H \subseteq_i P_4$ ならば Colouring は多項式時間で解けるが、そうでなければ NP-完全である。
• $(H, \overline{H})$-free 図形における未解決ケースは、$H = sP_1 + P_3$（$s \geq 3$）および $H = sP_1 + P_4$（$s \geq 2$）に限られる。
• $(P_6, \overline{P_1 + P_6})$-free 図形において 5-Colouring は NP-完全であり、3-SAT からの還元を用いて証明された。この還元では、$P_6$-free な 4-臨界グラフを用いた。
• 構成されたグラフ $G_{H,I}$ は $P_6$-free かつ $\overline{P_1 + P_6}$-free であるため、NP-完全性の還元が正当化された。
• 頂点タイプおよび誘導部分グラフの構造的解析により、$G_{H,I}$ に $\overline{P_1 + P_6}$ が存在しないことが除外され、矛盾証明が完了した。