[論文レビュー] Hereditary subalgebras of operator algebras

David P. Blecher, Damon M. Hay+1 more|ArXiv.org|Dec 17, 2005

Advanced Topics in Algebra参考文献 29被引用数 46

ひとこと要約

本稿は、C*-代数における開射影と作用素代数における特定の片側イデアルの間の全単射対応を確立し、C*-代数を超えたヒルベルトC*-加群（HSAs）の一般化を達成している。非自己共役作用素代数におけるモリタ同値の10年間にわたる未解決問題を、サポート射影と近似単位元を用いた非可換ピーク集合理論の構築により解決した。

ABSTRACT

In recent work of the second author, a technical result was proved establishing a bijective correspondence between certain open projections in a C*-algebra containing an operator algebra A, and certain one-sided ideals of A. Here we give several remarkable consequences of this result. These include a generalization of the theory of hereditary subalgebras of a C*-algebra, and the solution of a ten year old problem on the Morita equivalence of operator algebras. In particular, the latter gives a very clean generalization of the notion of Hilbert C*-modules to nonselfadjoint algebras. We show that an `ideal' of a general operator space X is the intersection of X with an `ideal' in any containing C*-algebra or C*-module. Finally, we discuss the noncommutative variant of the classical theory of `peak sets'.

研究の動機と目的

• C*-代数から一般作用素代数へのヒルベルト部分代数（HSAs）理論の一般化を図ること。
• 非自己共役作用素代数における強いモリタ同値に関する長年の未解決問題を解明すること。
• 非自己共役作用素代数へのヒルベルトC*-加群の概念的一般化を提供すること。
• 第二双対における射影を用いて、古典的ピーク集合理論を非可換設定に拡張すること。
• 含むC*-代数の第二双対における開射影を用いて、作用素代数における片側イデアルを特徴付けること。

提案手法

• Hayの定理を用いて、C*-代数の第二双対における開射影と、作用素代数における右イデアル（合同な左近似単位を持つもの）との間の全単射対応を確立する。
• 第二双対におけるp-射影と厳密p-射影を定義し、イデアルとピーク集合を特徴付ける。
• 非可換Urysohnの補題を適用して、第二双対における所望の性質を有する射影を構成する。
• 収縮作用素のべきのCesàro平均を用いて、弱*極限としてピーク射影を構成する。
• ピーク射影を、C*-代数内の収縮作用素bに対する右サポート射影r(1−b)の補集合として特徴付ける。
• 一般作用素空間におけるイデアルを、含むC*-代数またはC*-加群におけるイデアルとの共通部分として定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C*-代数におけるヒルベルト部分代数（HSAs）理論を非自己共役作用素代数に一般化することは可能か？
• RQ2 任意の左c.ai（合同な左近似単位）を持つ作用素代数は、必ず性質(L)を満たすのか、すなわちsを固定したときlim t e_s e_t = e_s が成り立つか？
• RQ3 ヒルベルトC*-加群は非自己共役作用素代数へ自然に一般化可能か？
• RQ4 古典的ピーク集合の概念は非可換C*-代数へ拡張可能か？
• RQ5 第二双対における開射影は、作用素代数における片側イデアルを特徴付けるために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、ヒルベルトC*-加群の洗練された一般化を導入することで、非自己共役作用素代数における強いモリタ同値に関する10年間の未解決問題を解決した。
• 単位的作用素代数における任意の右イデアルで、形式(1−x_n)の逐次的左c.aiを持つものは、常にその代数と第二双対におけるp-射影との共通部分として表される。
• C*-代数におけるピーク射影は、収縮作用素bに対してr(1−b)の補集合としてちょうど一致し、(b+1)/2でピークする。
• a^nのCesàro平均は弱*収束し、q a = q を満たすピーク射影qに収束する。このqは(a+1)/2のピーク射影である。
• 右イデアルJがproximinalであるための必要十分条件は、関連する射影qが厳密p-射影であることである。これはqと近似単位元を用いたノルム推定により示された。
• 一般作用素空間Xの任意のイデアルは、任意の含むC*-代数またはC*-加群におけるイデアルとの共通部分として表される。