[論文レビュー] Herglotz' variational principle and Lax-Oleinik evolution

Piermarco Cannarsa, Wei Cheng+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 41被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時間に依存する非自己同型設定下で、Herglotzの変分原理における最小化子のリプシッツ正則性推定を確立する。一般化された du Bois-Reymond補題を用いて、Erdmannの条件とオイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。さらに、Lax-Oleinik進化を用いたハミルトニアン・ジャコビ方程式の粘性解の表現公式を提示し、コンpactで滑らかなRiemann多様体への理論の拡張を図る。

ABSTRACT

We develop an elementary method to give a Lipschitz estimate for the minimizers in the problem of Herglotz' variational principle proposed in \cite{CCWY2018} in the time-dependent case. We deduce Erdmann's condition and the Euler-Lagrange equation separately under different sets of assumptions, by using a generalized du Bois-Reymond lemma. As an application, we obtain a representation formula for the viscosity solution of the Cauchy problem for the Hamilton-Jacobi equation \begin{align*} D_tu(t,x)+H(t,x,D_xu(t,x),u(t,x))=0 \end{align*} and study the related Lax-Oleinik evolution.

研究の動機と目的

• 時間に依存する設定下で、Herglotzの変分原理における最小化子のリプシッツ正則性推定を確立すること。
• 異なる仮定の下で、一般化された du Bois-Reymond補題を用いてErdmannの条件とオイラー＝ラグランジュ方程式を導出すること。
• ハミルトニアン・ジャコビ方程式の初期値問題の粘性解の表現公式を提供すること。
• 最小化子の存在性および正則性理論を、コンパクトで連結かつ閉じたC² Riemann多様体へ拡張すること。
• 局所的および大域的な幾何的制約のもとで、Herglotzの変分原理におけるLax-Oleinik進化を分析すること。

提案手法

• 最適性の必要条件（Erdmannの条件およびオイラー＝ラグランジュ方程式）を導出するために、一般化された du Bois-Reymond補題が用いられる。
• ラグランジアン L の構造的仮定（非線形成長および有界な微分）に基づいて、最小化子の事前リプシッツ境界が導出される。
• 時間区間の分割と正規座標チャートの有限アトラスを用いた局所から大域への議論により、大域問題が局所問題に還元される。
• 動的計画法を用いてLax-Oleinik進化が構成され、局所的基本解の下界畳み込みが用いられる。
• コンパクト多様体上での最小化子の存在性は、コンパクト性および擬凸性の議論により証明され、状態および速度軌道の一様有界性が利用される。
• 粘性解は、区分的C¹曲線の下で下界をとる形で表現され、各曲線に沿ってCarathéodory型常微分方程式を解くことで値関数が定義される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Herglotzの変分原理の最小化子が、時間に依存する設定下でもリプシッツ連続性を保つのはどのような条件下か？
• RQ2 異なる仮定のもとで、一般化された du Bois-Reymond補題を用いてErdmannの条件とオイラー＝ラグランジュ方程式を独立に導出できるか？
• RQ3 Herglotzの原理の文脈において、Lax-Oleinik公式を用いたハミルトニアン・ジャコビ方程式の粘性解の正確な表現は何か？
• RQ4 最小化子の存在性および正則性理論を、ユークリッド領域からコンパクトなRiemann多様体へどのように拡張できるか？
• RQ5 局所座標構造と「折れ線的測地線」の議論が、多様体上での大域的最小化子の構成において果たす役割は何か？

主な発見

• 最小化子の速度に関する一様なリプシッツ境界が確立され、その境界は時間区間、初期値 u、および多様体の幾何構造にのみ依存する。
• 最小化子は局所座標系においてHerglotz方程式を満たし、L が C² であれば双対変数 p(s) = L_v は C² である。
• ハミルトニアン・ジャコビ方程式の粘性解は、状態および制御制約を伴う区分的C¹曲線の下でLax-Oleinik公式による下界として表現される。
• 基本解 h_L は局所的に擬凸的であり、状態および制御軌道のコンパクト性により、Lax-Oleinik公式における下界が達成される。
• コンパクトなRiemann多様体上では、大域的最小化子が存在し、C¹-リプシッツ性を示す。|u_ξ(s)| および |ẋ(s)| に対する一様有界性は、u, x, y, 時間区間にのみ依存する。
• Lax-Oleinik進化は大域的に定義され、擬凸的であり、値関数は粘性解の意味でハミルトニアン・ジャコビ方程式を満たす。