[論文レビュー] Hermite-Hadamard-Fejer type inequalities for convex functions via fractional integrals

İmdat Işcan|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2014

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 12被引用数 67

ひとこと要約

本稿では、リーマン＝リウヴィル型分数積分を用いて、凸関数に対するヘルメート＝ハダマール＝フレージェル型不等式を確立する。古典的不等式を分数級数に拡張し、対称重み関数を含む新しい積分恒等式と境界を導出する。ホルダーの不等式と凸性の性質を用いて、明示的な推定を行う。

ABSTRACT

In this paper, firstly we have established Hermite--Hadamard-Fejér inequality for fractional integrals. Secondly, an integral identity and some Hermite-Hadamard-Fejer type integral inequalities for the fractional integrals have been obtained. The some results presented here would provide extensions of those given in earlier works.

研究の動機と目的

• リーマン＝リウヴィル作用素を用いて、古典的ヘルメート＝ハダマール＝フレージェル不等式を分数積分形に拡張すること。
• 対称重み関数を有する凸関数の分数積分に関する新しい積分恒等式を確立すること。
• 重み付き分数積分平均と中点・端点値との乖離に対する鋭い上界を導出すること。
• 可積分で対称的な重み関数を組み込んだことで、既存の分数積分ヘリュート＝ハダマール不等式を一般化すること。
• 導関数の絶対値の凸性とホルダーの不等式を用いた定量的推定を提供すること。

提案手法

• リーマン＝リウヴィルの定義と変数変換を用いて、重み付き平均と関数値との差を表す分数積分恒等式を導出する。
• 関数の導関数と重み関数を含む積分表現を、ホルダーの不等式を適用して評価する。
• 重み関数 $ g $ が $ (a+b)/2 $ を中心として対称であることを利用して、$ J_{a+}^{ u}g(b) $ と $ J_{b-}^{ u}g(a) $ を含む式を簡略化する。
• 関数 $ |f'|^q $ の凸性と不等式 $ (A-B)^q \leq A^q - B^q $（$ A \geq B \geq 0 $、$ q \geq 1 $）を用いて、得られた積分を評価する。
• 置換 $ t \in [0,1] $ を用いて、区間 $[a, b]$ 上の積分を標準形に変換し、ベータ関数の恒等式を用いて評価を可能にする。
• 最終的な推定において重み関数のノルムを制御するため、$ |a^\alpha - b^\alpha| \leq (b-a)^\alpha $（$ 0 < \alpha \leq 1 $）の不等式を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸関数と対称重みを用いて、ヘルメート＝ハダマール＝フレージェル不等式をどのように分数積分に一般化できるか？
• RQ2 分数積分平均と関数の導関数および対称重み関数を結ぶ、どのような積分恒等式が存在するか？
• RQ3 分数積分平均が中点および端点値からどれほど乖離しているかに対する鋭い上界は何か？
• RQ4 ホルダーの不等式と $ |f'|^q $ の凸性は、分数的フレージェル型不等式の推定をどのように改善するか？
• RQ5 $ \alpha = 1 $ のとき、境界はどのように変化し、既存の文献における既知の結果とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿では、分数的ヘルメート＝ハダマール＝フレージェル不等式を証明している：$ f\left(\frac{a+b}{2}\right) \left[J_{a+}^{\alpha}g(b) + J_{b-}^{\alpha}g(a)\right] \leq \left[J_{a+}^{\alpha}(fg)(b) + J_{b-}^{\alpha}(fg)(a)\right] \leq \frac{f(a)+f(b)}{2} \left[J_{a+}^{\alpha}g(b) + J_{b-}^{\alpha}g(a)\right] $（$ \alpha > 0 $）。
• 微分可能な $ f $ に対して $ |f'|^q $ が凸で、$ g $ が対称的かつ連続的であるとき、次の推定が成り立つ：$ \left| \left(\frac{f(a)+f(b)}{2}\right) \left[J_{a+}^{\alpha}g(b) + J_{b-}^{\alpha}g(a)\right] - \left[J_{a+}^{\alpha}(fg)(b) + J_{b-}^{\alpha}(fg)(a)\right] \right| \leq \frac{2^{1/p}\|g\|_{\infty}(b-a)^{\alpha+1}}{(α p+1)^{1/p}\Gamma(\alpha+1)} \left(1 - \frac{1}{2^{\alpha p}}\right)^{1/p} \left(\frac{|f'(a)|^q + |f'(b)|^q}{2}\right)^{1/q} $（$ \alpha > 0 $、$ q > 1 $、$ 1/p + 1/q = 1 $）。
• 別な推定も導出されている：$ \leq \frac{\|g\|_{\infty}(b-a)^{\alpha+1}}{(α p+1)^{1/p}\Gamma(\alpha+1)} \left(\frac{|f'(a)|^q + |f'(b)|^q}{2}\right)^{1/q} $（$ 0 < \alpha \leq 1 $）。
• これらの推定は、$ \alpha = 1 $ のとき既知の結果に還元されることから、鋭いものである。[17, 系13] に一致する。
• 補題4における積分恒等式は、乖離を $ \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_a^b \left| \int_t^{a+b-t} (b-s)^{\alpha-1} g(s) ds \right| |f'(t)| dt $ として表現し、ホルダーの不等式の適用を可能にする。
• 不等式 $ (A-B)^q \leq A^q - B^q $（$ A \geq B \geq 0 $、$ q \geq 1 $）の使用により、積分内のカーネル項を点ごとの上界で支配できる。