[論文レビュー] Hermite-Hadamard's inequalities for preinvex functions via fractional integrals and related fractional inequalities

İmdat Işcan|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2012

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、リーマン＝リウヴィルの分数階積分を用いて、preinvex関数に対するHermite-Hadamard型不等式を確立し、古典的結果をより広い関数類に拡張する。Hölderの不等式とpreinvex性の性質を活用して、端点における関数値の平均と分数階積分平均との乖離の鋭い上限を導出する。主な結果には、分数階数α（分数階数）と共役指数qが含まれる。

ABSTRACT

In this paper, first we have established Hermite- Hadamard's inequalities for preinvex functions via fractional integrals. Second we extend some estimates of the right side of a Hermite- Hadamard type inequality for preinvex functions via fractional integrals.

研究の動機と目的

• 凸関数に対する古典的Hermite-Hadamard不等式を、分数階微積分の枠組みにおいてpreinvex関数へ一般化すること。
• preinvex関数に対してリーマン＝リウヴィル積分を含む新しい分数階積分不等式を確立すること。
• 端点における関数値の平均と分数階積分平均との差の推定値を精緻化すること。
• 先行研究（例：Sarıkayaらの研究）における凸関数に関する結果を、より一般的なpreinvex関数のクラスへ拡張すること。
• 関数ηおよび条件Cが、preinvex性の仮定の下で鋭い上限を導出する上で果たす役割を調査すること。

提案手法

• 関数値の平均と分数階積分平均との差を結びつける分数階積分恒等式（補題1）を導入する。
• 分数階積分恒等式における導関数項のL1ノルムを抑え込むためにHölderの不等式を適用する。
• t ∈ [0,1] に対して |f′(a + tη(b,a))|^q ≤ (1−t)|f′(a)|^q + t|f′(b)|^q というpreinvex性条件を用いて、導関数項を上から抑える。
• 区間[0,1]における核 |t^α − (1−t)^α| の対称性を活用し、αおよび2^αを含む積分を計算する。
• Γ(α+1)、η(b,a)、および端点における導関数のLqノルムを用いて、上限を導出する。
• Hölder推定値を最適化するために、共役指数関係 1/p + 1/q = 1 を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階積分を用いて、Hermite-Hadamard不等式を凸関数からpreinvex関数へどのように拡張できるか？
• RQ2 preinvex性の下で、f(a)とf(b)の平均と分数階積分平均との差の鋭い上限は何か？
• RQ3 ηの選択が、preinvex関数に対する分数階積分不等式にどのように影響するか？
• RQ4 分数階積分定式化におけるパラメータαの役割は何か？また、それが上限にどのように影響するか？
• RQ5 古典的不等式 (1.2) は、新しい分数階preinvex不等式の特別な場合として回復可能か？

主な発見

• 本稿は、リーマン＝リウヴィルの分数階積分を用いて、preinvex関数に対する新しいHermite-Hadamard型不等式を確立し、古典的結果を一般化する。
• α > 0 および q > 1 に対して、|f′|^q がpreinvexであるとき、| (f(a) + f(a+η(b,a)))/2 − Γ(α+1)/(2η^α(b,a)) [J_{a+}^α f(a+η(b,a)) + J_{(a+η(b,a))−}^α f(a)] | ≤ η(b,a)/(α+1) (1 − 1/2^α) [(|f′(a)|^q + |f′(b)|^q)/2]^{1/q} が成り立つ。
• η(b,a) = b−a かつ α = 1 のとき、この上限は古典的不等式 (1.2) に還元され、先行研究と整合性が確認される。
• preinvex性の仮定およびηが条件Cを満たすという条件下で、結果は鋭いものである。
• 共役指数pとqを用いたHölderの不等式の適用により、単純なL1またはL∞の上限よりも tighter な推定が得られる。
• 導出された不等式は任意のα > 0に対して有効であり、η-連結集合上の非凸的だがpreinvexな関数へもHermite-Hadamard型推定の適用範囲を拡張する。