[論文レビュー] HERMITE-HADAMARD-TYPE INEQUALITIES VIA (ALPHA, M)-CONVEXITY

M. Emіn Özdemіr, Merve Avcı+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2011

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 3被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、|f''|^q が (α,m)-凸である関数に対する、Hölderの積分不等式およびべき平均積分不等式を用いて、Hermite-Hadamard型積分不等式の新たな結果を確立している。主な貢献は、ベータ関数およびパラメータ α、m、q を含む鋭い評価を与えることであり、凸関数および m-凸関数に対する古典的不等式を一般化する。

ABSTRACT

In this paper, we establish some integral inequalities for functions whose second derivatives in absolute value are ({\\alpha},m)- convex.

研究の動機と目的

• 古典的なHermite-Hadamard不等式を、第二導関数が (α,m)-凸である関数へと拡張すること。
• 関数値の平均と積分平均の差に対するより緊密な積分的評価を導出すること。
• 統一的な (α,m)-枠組みを用いて、m-凸関数および α-凸関数に関する先行研究を一般化すること。
• |f''|^q に対して、ベータ関数およびパラメータ α、m、q を含む明示的な評価を与えること。
• α = m = 1 の場合に、Sarıkaya や Özdemir らの既知の不等式が特殊ケースとして回復されることを示すこと。

提案手法

• 先行研究の補題1を変更し、f(a) + f(mb) および [a, mb] 上の積分を含む新しい恒等式を導出すること。
• 共役指数 p と q に対して 1/p + 1/q = 1 を満たす Hölder の積分不等式を用いること。
• 重み t(1-t) を用いたべき平均積分不等式を適用し、|f''| の積分を評価すること。
• (α,m)-凸性を用いて、|f''(ta + m(1-t)b)|^q ≤ t^α |f''(a)|^q + m(1 - t^α)|f''(b)|^q と上界を定めること。
• ベータ関数 β(x,y) = ∫₀¹ t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt を用いて、得られた積分を評価すること。
• 正規化係数 (1/6)^{1-1/q}、(1/2)^{1-1/q}、および (1/(p+1))^{1/p} を含む境界を統合すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二導関数が (α,m)-凸である関数に対して、Hermite-Hadamard型不等式をどのように一般化できるか。
• RQ2 |f''|^q が (α,m)-凸であるという条件下で、差の |(f(a)+f(mb))/2 - (1/(mb-a))∫_a^{mb} f(x)dx| の最適な境界は何か。
• RQ3 Hölderの不等式とべき平均不等式による境界は、α、m、q に依存する形で、どの程度緊密か。
• RQ4 m-凸関数および凸関数に対する既知の不等式が、提案された枠組みの特殊ケースとして回復可能か。
• RQ5 ベータ関数 β(α+1,q+1) は、導出された境界の鋭さを特徴付ける上で果たす役割は何か。

主な発見

• 定理4では、(1/6)^{1-1/q}、β(α+2,q+1)、|f''(a)|^q、|f''(b)|^q を含む境界が得られ、m-重みが付与されている。
• 定理5では、Hölderの不等式を用いて、(1/(p+1))^{1/p} および β(α+1,q+1) を含む境界が得られ、p = q/(q-1) である。
• 定理6では、べき平均不等式を用いて、(1/2)^{1-1/q} および β(α+2,q+1} を含む境界が得られ、以前の推定値を改善している。
• α = m = 1 の場合、定理4の結果は、Özdemir らの既知の不等式に還元され、一貫性が確認された。
• |f''| ≤ K の場合、補題1の境界は、定理4において α = m = 1 とした特別な場合に回復される。
• 境界は鋭く、α = m = 1 かつ q = 1 の場合に古典的Hermite-Hadamard不等式に還元されることから、その意味で鋭いものである。