[論文レビュー] Hermite-Hadamard type inequality for operator preinvex functions

A. G. Ghazanfari, Mahmood Shakoori+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2013

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ヒルバート空間における作用素準凸関数に対して、ヘルメート・ハダマール型不等式を確立する。これは、作用素凸性を一般化した $\eta$-パスと凸性の一般化を用いて、古典的不等式を拡張したものである。主な貢献は、重み付き平均と積分平均の差をバインドする新しい積分不等式を導出したことである。この不等式は作用素準凸性と $\eta$ に関する条件 $C$ を用いて鋭い推定値を与える。結果として、既知の作用素凸関数に対する不等式が一般化され、スペクトル理論と関数計算を用いて作用素ノルムおよびベクトル半ノルムの境界が得られる。

ABSTRACT

In this paper we establish a Hermite- Hadamard type inequality for operator preinvex functions and an estimate of the right hand side of a Hermite- Hadamard type inequality in which some operator preinvex functions of selfadjoint operators in Hilbert spaces are involved.

研究の動機と目的

• 作用素準凸関数を用いて、古典的ヘリュート・ハダマール不等式を作用素設定に拡張すること。
• 作用素凸関数に関する既存の結果を、$\eta$-パスを用いた凸性の一般化を導入することによって一般化すること。
• 作用素値積分を含むヘルメート・ハダマール型不等式の右辺に対する新しい推定値を導出すること。
• 作用素準凸性の下で、積分平均と中点値の乖離に関するベクトルおよび作用素ノルム境界を確立すること。
• $\eta(B,A) = B - A$ のとき、既存の作用素凸関数に関する結果が特殊ケースとして回復されることを示すこと。

提案手法

• 作用素準凸性を、$S \subseteq B(H)_{sa}$ における凸性の一般化である $\eta$-パスを用いて定義し、条件 $C$ を満たす写像 $\eta:S \times S \to B(H)_{sa}$ を用いる。
• 連続関数計算を用いて、自己随伴作用素 $A$ と $\mathrm{Sp}(A)$ 上の連続関数 $f$ に対して $f(A)$ を定義し、正値性および順序保存性を保証する。
• $\eta$-パス $P_{AV} = \{A + t\eta(B,A) \mid t \in [0,1]\}$ を導入し、作用素値積分 $\int_0^1 f(A + t\eta(B,A)) \, dt$ を定義する。
• 固定された単位ベクトル $x \in H$ に対して、実数値関数 $\varphi(t) = \left\langle \int_0^t f(A + s\eta(B,A)) \, ds \, x, x \right\rangle$ を定義し、準凸性を用いてその凸性を活用する。
• 古典的ドラゴミル＝アガルワル不等式（定理1）を $\varphi(t)$ に適用し、重み付き平均と積分平均の差の境界を導出する。
• すべての単位ベクトル $x$ について上界をとることで作用素ノルム境界が得られ、これが主不等式（2.13）に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルバート空間における凸性の一般化を用いた作用素準凸関数に対して、ヘルメート・ハダマール不等式を拡張することは可能か？
• RQ2 作用素準凸関数の設定下で、積分平均と中点値の乖離に対する鋭い境界は何か？
• RQ3 $\eta$-写像に関する条件 $C$ は、作用素値関数の凸性および積分可能性にどのように影響するか？
• RQ4 $\eta(B,A) = B - A$ のとき、古典的結果がどの程度作用素凸関数の特殊ケースとして回復されるか？
• RQ5 準凸性の下で、同じ不等式に対して同時にベクトル半ノルムと作用素ノルムの推定値を導出できるか？

主な発見

• 本稿は、作用素準凸関数に対する新しいヘリュート・ハダマール型不等式を確立する：\[ f\left(\frac{A+V}{2}\right) \leq \frac{1}{2}\left[f\left(\frac{3A+V}{4}\right) + f\left(\frac{A+3V}{4}\right)\right] \leq \int_0^1 f(A + t\eta(B,A)) \, dt \leq \frac{1}{2}\left[f\left(\frac{A+V}{2}\right) + \frac{f(A)+f(B)}{2}\right] \] ここで $V = A + \eta(B,A)$ である。
• 積分平均と重み付き平均の乖離に対する鋭い推定値が得られる：\[ \left| \frac{1}{2}\varphi(a) + \frac{1}{2}\varphi(b) - \frac{1}{b-a}\int_a^b \varphi(s) \, ds \right| \leq \frac{b-a}{8}(\varphi'(a) + \varphi'(b)) \] ここで $\varphi(t) = \left\langle \int_0^t f(A + s\eta(B,A)) \, ds \, x, x \right\rangle$ である。
• 作用素ノルムバージョンの境界は以下の通りである：\[ \left\| \frac{1}{2}\int_0^a f(A+s\eta(B,A)) \, ds + \frac{1}{2}\int_0^b f(A+s\eta(B,A)) \, ds - \frac{1}{b-a}\int_a^b \int_0^t f(A+s\eta(B,A)) \, ds \, dt \right\| \leq \frac{b-a}{8}\|f(A + a\eta(B,A)) + f(A + b\eta(B,A))\| \]。
• $\eta(B,A) = B - A$ のとき、不等式は既知の作用素凸関数に対する結果に還元され、ドラゴミル（2000年）の定理2が回復される。
• ベクトル半ノルム境界は以下の通りである：\[ \left| \frac{1}{2}\langle \int_0^a f(A+s\eta(B,A)) \, ds \, x,x \rangle + \frac{1}{2}\langle \int_0^b f(A+s\eta(B,A)) \, ds \, x,x \rangle - \frac{1}{b-a}\int_a^b \left\langle \int_0^t f(A+s\eta(B,A)) \, ds \, x,x \right\rangle dt \right| \leq \frac{b-a}{8}\left(\langle f(A+a\eta(B,A))x,x\rangle + \langle f(A+b\eta(B,A))x,x\rangle\right) \]。
• 結果として、積分平均が右端よりも左端に近いことが示され、補題1で示される：\[ 0 \leq \int_0^1 f(A+t\eta(B,A)) \, dt - f\left(\frac{A+V}{2}\right) \leq \frac{f(A)+f(B)}{2} - \int_0^1 f(A+t\eta(B,A)) \, dt \]。