[論文レビュー] Hermitian adjacency matrix of digraphs and mixed graphs

Krystal Guo, Bojan Mohar|arXiv (Cornell University)|May 6, 2015

Graph theory and applications参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、有向グラフおよび混合グラフにおけるヘルミート隣接行列を導入し、有向辺に対して複素数単位 i と -i、双方向辺に対しては 1 を用いて定義することで、実固有値を保証し、スペクトル解析を可能にする。主な貢献として、0 ≤ α ≤ √3 の範囲で固有値が (-α, α) 内にあるすべての有向グラフの特徴付けがなされ、スペクトル半径と最大固有値の間のタイトな境界が確立されている：ρ(X) ≤ 3λ₁(X)。

ABSTRACT

The paper gives a thorough introduction to spectra of digraphs via its Hermitian adjacency matrix. This matrix is indexed by the vertices of the digraph, and the entry corresponding to an arc from $x$ to $y$ is equal to the complex unity $i$ (and its symmetric entry is $-i$) if the reverse arc $yx$ is not present. We also allow arcs in both directions and unoriented edges, in which case we use $1$ as the entry. This allows to use the definition also for mixed graphs. This matrix has many nice properties; it has real eigenvalues and the interlacing theorem holds for a digraph and its induced subdigraphs. Besides covering the basic properties, we discuss many differences from the properties of eigenvalues of undirected graphs and develop basic theory. The main novel results include the following. Several surprising facts are discovered about the spectral radius; some consequences of the interlacing property are obtained; operations that preserve the spectrum are discussed -- they give rise to an incredible number of cospectral digraphs; for every $0\leα\le\sqrt{3}$, all digraphs whose spectrum is contained in the interval $(-α,α)$ are determined.

研究の動機と目的

• 有向グラフおよび混合グラフのためのスペクトル理論を構築すること。そのために、実固有値を保証するヘルミート隣接行列を用いる。
• 非ヘルミート隣接行列による複素固有値の制限を克服することで、有向グラフへのスペクトルグラフ理論の拡張を図ること。
• 有向グラフのスペクトル的性質と構造的特徴（例えば、固有値の入れ子性やコスペクトラリティ）との関係を調査すること。
• 0 ≤ α ≤ √3 の範囲で、すべてのヘルミート固有値が区間 (-α, α) 内にある有向グラフを特徴付けること。
• スペクトルを保存する操作を探索し、非同型のコスペクトラル有向グラフの大きな族の構成に繋げること。

提案手法

• H(u,v) = i（uv が存在するが vu は存在しない場合）、H(u,v) = -i（vu が存在するが uv は存在しない場合）、H(u,v) = 1（両方の弧が存在する場合）、それ以外は 0 であるヘルミート隣接行列 H(D) を定義する。
• 行列のヘルミート性を用いて実固有値を保証し、部分有向グラフへの固有値の入れ子性定理を適用する。
• 巡回行列および反対称巡回行列の結果を応用し、有向サイクルやその変形のような構造的有向グラフの固有値を計算する。
• 次数と固有値の入れ子性に基づくスペクトル境界を活用し、スペクトル半径と最大固有値との関係を分析する。
• スイッチング操作とコスペクトラル構成を用いて、非同型のコスペクトラル有向グラフの大きな族を生成する。
• 反対称巡回行列の理論を応用し、推移的トーナメントおよび変形されたサイクルの固有値を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向グラフおよび混合グラフにおけるヘルミート隣接行列のスペクトル的性質は何か？ そして、無向グラフとはどのように異なるか？
• RQ2 有向グラフにおいて、スペクトル半径 ρ(X) と最大固有値 λ₁(X) の関係は何か？ また、タイトな境界を確立できるか？
• RQ3 どの有向グラフが、0 ≤ α ≤ √3 の範囲で、すべてのヘルミート固有値を区間 (-α, α) 内に持つか？
• RQ4 どの操作が有向グラフのスペクトルを保存するか？ そして、どれだけの数の非同型コスペクトラル有向グラフを生成できるか？
• RQ5 スペクトル的手法を用いて、向き付けられたグラフにおける独立集合の数や無閉路部分グラフのサイズといった組合せ的パラメータを評価できるか？

主な発見

• 有向グラフのヘルミート隣接行列は実固有値を持ち、誘導部分有向グラフに対しても固有値の入れ子性を満たす。
• スペクトル半径 ρ(X) はタイトな境界 ρ(X) ≤ 3λ₁(X) を満たし、両方向で等号が成立する可能性がある。
• 任意の 0 ≤ α ≤ √3 に対して、H-固有値が (-α, α) 内にあるすべての有向グラフが完全に特徴付けられており、固有値が1つまたは2つの場合も含む。
• 固有値の異なる数が一定であるが直径が無限大に拡大する有向グラフの無限族が存在する。
• コスペクトラルなペアは一般的に存在する。任意の位数 n の無向グラフに対して、向き付けスイッチングにより最大 2^n 個の非同型有向グラフをコスペクトラルに生成可能である。
• 有向サイクル Dₙ の固有値は k = 0,…,n−1 の範囲で 2sin(2πk/n) であり、1つの弧を逆にした変形サイクル C̃ₙ の固有値は j = 0,…,n−1 の範囲で -2sin((2j+1)π/n) である。