[論文レビュー] Hermitian curvature flow on complex homogeneous manifolds

Yury Ustinovskiy|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、複素同次多様体上のヘルミート接続曲率フロー（HCF）を研究し、誘導されたヘルミート計量の空間がフロー下で保存されることを証明する。$G$ をコンパクトな単純なリー群の複素化とするとき、$G$-同次多様体上でHCFは長期間にわたり存在し、HCF-Einstein計量に収束することが示され、ネルム型および可解群では爆発行動が特定され、特にアイワサ型多様体では多項式的爆発と低次元トーラスへのGromov-Hausdorff収束が観察される。

ABSTRACT

In this paper we study a version of the Hermitian curvature flow (HCF). We focus on complex homogeneous manifolds equipped with induced metrics. We prove that this finite-dimensional space of metrics is invariant under the HCF and write down the corresponding ODE on the space of Hermitian forms on the underlying Lie algebra. Using these computations we construct HCF-Einstein metrics on $G$-homogeneous manifolds, where $G$ is a complexification of a compact simple Lie group. We conjecture that under the HCF any induced metric on such a manifold pinches towards the HCF-Einstein metric. For a nilpotent or solvable complex Lie group equipped with an induced metric we investigate the blow-up behavior of the HCF.

研究の動機と目的

• 複素同次多様体に誘導された計量を備えたヘルミート接続曲率フロー（HCF）の挙動を分析すること。
• HCF下で有限次元の誘導ヘルミート計量の空間が不変であることを証明すること。
• $G$ をコンパクトな単純なリー群の複素化とする $G$-同次多様体上にHCF-Einstein計量を構成すること。
• ネルム型および可解な複素リー群上でのHCFの長期間挙動と特異点形成を調査すること。
• アイワサ多様体を含むコンパクトなネルム多様体上でのフローのGromov-Hausdorff極限を理解すること。

提案手法

• リー代数 $\mathfrak{g}$ 上のヘルミート形式の空間におけるHCFに対応する常微分方程式（ODE）を導出する。
• 誘導計量のHCF下での不変性を用いて、フローを $\mathrm{Sym}^{1,1}(\mathfrak{g})$ 上の有限次元系に簡約する。
• 表現論的技法を用いて、随伴作用および双対写像 $\rho^\#$ を通じた計量の時間発展を解析する。
• 比較原理および多項式的爆発推定を用いて、長期間の存在を証明し、計量の成長を制御する。
• アイワサ多様体および類似するネルム多様体における収束するファイバーを特定することで、Gromov-Hausdorff極限を分析する。
• ヘイゼンベルクの場合に $h^\#$ が $\partial_b \otimes \overline{\partial_b}$ に比例することを活用し、成分ごとの計量の減衰を追跡する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 HCFは複素同次多様体上の誘導ヘルミート計量の空間を保存するか？
• RQ2 $G$ をコンパクトな単純なリー群の複素化とする $G$-同次多様体上にHCF-Einstein計量を構成できるか？
• RQ3 ネルム型または可解な複素リー群上でのHCFの長期間挙動はいかなるものか？
• RQ4 アイワサ多様体上でのHCFの挙動はどのようなものか？ また、計量フローのGromov-Hausdorff極限は何か？
• RQ5 HCF解は有限時間で爆発するか、それとも常に存在するか？ どのような条件下でそうなるか？

主な発見

• HCFは複素同次多様体上の誘導ヘルミート計量の空間を保存し、$\mathrm{Sym}^{1,1}(\mathfrak{g})$ 上のODEに帰着される。
• $G$ がコンパクトな単純なリー群の複素化であるとき、HCFはHCF-Einstein計量に収束する。これは、すべての誘導計量がそのような計量にピンチするという予想を支持する。
• ヘイゼンベルク群のようなネルム型複素リー群では、HCF解は多項式的爆発を示し、$h(t)$ は $t \to \infty$ のとき増大する。
• アイワサ多様体 $G/\Gamma$ 上では、計量 $g(t)$ が $g(t)(\partial_b, \partial_b) \to 0$ を満たす一方で $\mathrm{span}(\partial_a, \partial_c)$ 上の計量は一定のままであるため、Gromov-Hausdorff収束が楕円曲線の積に起こる。
• $G$ がネルム型で $\Gamma$ が共コンパクトな形の複素ネルム多様体 $G/\Gamma$ 上のHCFは、類似した収束挙動を示し、ファイバーが一様に点に収束する。
• 非可解な $\mathfrak{g}$ の場合、初期計量が特定の方向に十分に大きいと、単純な商の爆発解を用いた背理法により、HCF解は常に存在できないことが示される。