[論文レビュー] Hermitian geometry on resolvent set(I)

Ronald G. Douglas, Rongwei Yang|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、単位的バナッハ代数における作用素の $k$-tuple の射影的共同分離集合上に、${\mathcal{B}}$-値基本形式 $\Omega_A = -\omega_A^* \wedge \omega_A$ 及びその忠実状態との結合を用いたヘルミート幾何的枠組みを導入する。得られる計量がKählerであるための必要十分条件は、$k$-tuple が可換であることであり、Fuglede-Kadison行列式と関連づけることで、行列代数においては $\Omega_A$ のトレースを用いて完全性を示すという重要な結果を得る。計量は左不変であり、$GL(k)$ 上ではリッチ平坦かつ非Kähler的である。本稿は、曲率および行列式不変量を通じて、作用素の可換性、スペクトル位相的性質、計量の完全性の間の幾何的関係を確立する。

ABSTRACT

For a tuple $A=(A_1,\ A_2,\ ...,\ A_n)$ of elements in a unital Banach algebra ${\mathcal B}$, its projective joint spectrum $P(A)$ is the collection of $z\in {\mathbb C}^n$ such that $A(z)=z_1A_1+z_2A_2+\cdots +z_nA_n$ is not invertible. It is known that the ${\mathcal B}$-valued $1$-form $ω_A(z)=A^{-1}(z)dA(z)$ contains much topological information about the joint resolvent set $P^c(A)$. This paper studies geometric properties of $P^c(A)$ with respect to Hermitian metrics defined through the ${\mathcal B}$-valued {\em fundamental form} $Ω_A=-ω^*_A\wedge ω_A$ and its coupling with faithful states $ϕ$ on ${\mathcal B}$, i.e. $ϕ(Ω_A)$. The connection between the tuple $A$ and the metric is the main subject of this paper. In particular, it shows that the Kählerness of the metric is tied with the commutativity of the tuple, and its completeness is related to the Fuglede-Kadison determinant.

研究の動機と目的

• 単位的バナッハ代数における作用素 $k$-tuple の射影的共同分離集合 $P^c(A)$ 上にヘルミート幾何的構造を構築すること。
• 代数的性質（例えば可換性）と、$\Omega_A$ で定義される計量の幾何的性質との相関関係を調査すること。
• 忠実状態 $\phi$ と $\Omega_A$ で誘導される計量が完全であるための条件を確立すること、特に Fuglede-Kadison行列式と関連づけて行う。
• 非可換作用素論におけるMaurer-Cartan形式 $\omega_A = A^{-1}(z)dA(z)$ の幾何的意味を探索すること。
• $A$ が $M_k(\mathbb{C})$ を張るとき、$Tr(\Omega_A)$ が $GL(k)$ 上で完全かつ左不変で、リッチ平坦だが非Kähler的である計量を定義することを示すこと。

提案手法

• 本稿は、$GL({\mathcal{B}})$ の可逆元による左乗法に関して不変である ${\mathcal{B}}$-値 $1$-形式 $\omega_A(z) = A^{-1}(z)dA(z)$ を構成し、幾何的整合性を保証する。
• 基本形式 $\Omega_A = -\omega_A^* \wedge \omega_A$ を定義し、$P^c(A)$ 上にヘルミート計量を生成し、それを忠実状態 $\phi$ と結合して $\phi(\Omega_A)$ を得る。
• 曲率形式を用いて計量のKähler性を分析し、計量がKählerであるための必要十分条件が $k$-tuple $A$ が可換であることであることを示す。
• 計量の完全性はFuglede-Kadison行列式と関連づけられる：境界点 $q \in \partial P^c(A)$ が $\phi$-特異であれば、$q$ は $P^c(A)$ の任意の点から無限遠に位置し、計量 $\phi(\Omega_A)$ に関して $P^c(A)$ が完全であることを示唆する。
• $M_k(\mathbb{C})$ の行列代数に対して、$GL(k)$ 上の計量をトレース $Tr(\Omega_A)$ を用いて定義し、ホロモーフィック行列式の性質によりそれが完全、左不変、リッチ平坦であることを示す。
• 計量行列は $g(z) = \alpha^*(A^{-1}(z) \otimes I_k)^* (A^{-1}(z) \otimes I_k) \alpha$ として計算され、$\det g(z) = |\det \alpha|^2 |\det A^{-k}(z)|^2$ が成り立ち、リッチ平坦性が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 忠実状態 $\phi$ と $\Omega_A$ で定義されるヘルミート計量がKählerであるための条件は何か？
• RQ2 Fuglede-Kadison行列式は、$P^c(A)$ 上の計量の完全性とどのように関係するか？
• RQ3 $A$ が $M_k(\mathbb{C})$ を張るとき、$GL(k)$ 上の計量 $Tr(\Omega_A)$ が完全、左不変、リッチ平坦、かつ非Kähler的であることを示せるか？
• RQ4 定理3.2の逆は成り立つか：境界点が $P^c(A)$ の閉包に属さない場合、それは必ず $\phi$-特異であるか？
• RQ5 $GL({\mathcal{B}})$ による左乗法に関して $\omega_A$ が不変であるという性質は、作用素 $k$-tuple の文脈でどのような幾何的意義を持つのか？

主な発見

• 忠実状態 $\phi$ と $\Omega_A$ で定義される計量 $\phi(\Omega_A)$ がKählerであるための必要十分条件は、$k$-tuple $A$ が可換であることである。これにより、代数的可換性と幾何的Kähler構造との直接的な関係が確立される。
• $\partial P^c(A)$ に属する境界点 $q$ が $\phi$-特異であれば、$q$ は $P^c(A)$ の任意の点から無限距離に位置し、計量 $\phi(\Omega_A)$ に関して $P^c(A)$ が完全であることが示される。
• $A$ が $M_k(\mathbb{C})$ の基底をなすとき、計量 $Tr(\Omega_A)$ は $GL(k)$ 上で完全、左不変、リッチ平坦、しかし非Kähler的である計量を定義する。これは行列式公式 $\det g(z) = |\det \alpha|^2 |\det A^{-k}(z)|^2$ を用いて示される。
• $Tr(\Omega_A)$ は $GL(k)$ 上で左乗法に関して不変であり、$GL(k)$ 上での左不変性が確認される。また、$\omega_A$ が $GL({\mathcal{B}})$ に関して不変であるため、幾何的整合性が保証される。
• Fuglede-Kadison行列式は完全性において中心的な役割を果たす：$\phi$-特異な境界点とは、行列式が有限距離への到達を妨げるような方法で消失する点である。
• 計量はリッチ平坦である。なぜなら、$\det g(z)$ が正則関数の絶対値の二乗であり、その対数凸性の結果としてリッチ曲率が消えるからである。