[論文レビュー] Hermitian K-theory for stable $\infty$-categories II: Cobordism categories and additivity

Baptiste Calmès, E. Dotto+7 more|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、コボルディズム圏モデルを用いたヘルミート K-理論の統一的枠組みを、安定 ∞-圏において提示する。Grothendieck-Witt スペクトルの K-理論的および L-理論的成分への分解を確立し、ヘリミート加法性定理を証明し、2 を逆元としてとらない状況でも、カルーブィの周期性やウェイズ＝ウィリアムズの LA-理論といった古典的結果をホモトピー論的設定で回復する。

ABSTRACT

We define Grothendieck-Witt spectra in the setting of Poincaré $\infty$-categories and show that they fit into an extension with a K- and an L-theoretic part. As consequences we deduce localisation sequences for Verdier quotients, and generalisations of Karoubi's fundamental and periodicity theorems for rings in which 2 need not be invertible. Our set-up allows for the uniform treatment of such algebraic examples alongside homotopy-theoretic generalisations: For example, the periodicity theorem holds for complex oriented $\mathrm{E}_1$-rings, and we show that the Grothendieck-Witt theory of parametrised spectra recovers Weiss and Williams' LA-theory. Our Grothendieck-Witt spectra are defined via a version of the hermitian Q-construction, and a novel feature of our approach is to interpret the latter as a cobordism category. This perspective also allows us to give a hermitian version -- along with a concise proof -- of the theorem of Blumberg, Gepner and Tabuada, and provides a cobordism theoretic description of the aforementioned LA-spectra.

研究の動機と目的

• 2 を逆元としてとらない状況でも、安定 ∞-圏におけるヘリミート K-理論のホモトピー論的枠組みを構築すること。
• 環に2の逆元が存在しない場合や E1-環を含む代数的および位相的例を統合すること。
• ボット＝ゲナウアー列を用いて、Grothendieck-Witt スペクトルを K-理論的および L-理論的成分に分解すること。
• コボルディズム圏を用いて、ブルンバーグ＝ゲプナー＝タバタの加法性定理のヘリミート版を証明すること。
• パラメトライズド スペクトルの Grothendieck-Witt 理論が、ウェイズとウィリアムズの LA-理論を回復すること。

提案手法

• ヘリミート Q-構成法を、ポアンカレ ∞-圏におけるコボルディズム ∞-圏としての新規な解釈を用いる。
• ユニモジュラー形式のコボルディズム ∞-圏の群完備化として Grothendieck-Witt スペクトルを定義する。
• ポアンカレ＝ベルデュール列および加法的関手の理論を適用し、局所化およびメイヤー＝ビエトリス原理を確立する。
• 基本的完全列を構成するために、関手のボルディフィケーションおよび真のハイパーボリック化を導入する。
• ハイパーボリック化を通じて、Grothendieck-Witt スペクトルと K-理論および L-理論を結ぶボット＝ゲナウアー列を確立する。
• C2-等変ホモトピー論およびノーム写像を用いて、2- torsion の存在下での固定点および軌道を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2 が逆元としてとられない状況でも、ヘリミート K-理論を安定 ∞-圏に体系的に拡張する方法は何か？
• RQ2 この設定において、Grothendieck-Witt スペクトル、K-理論、L-理論の正確な関係は何か？
• RQ3 コボルディズム論的アプローチを用いて、K-理論の加法性定理をヘリミート設定に一般化できるか？
• RQ4 パラメトライズド スペクトルの Grothendieck-Witt 理論は、ウェイズとウィリアムズの LA-理論を回復するか？
• RQ5 ポアンカレ＝ベルデュール列および局所化列は、ヘリミート設定においてどのように振る舞うか？

主な発見

• ポアンカレ ∞-圏の Grothendieck-Witt スペクトルは、K-理論および L-理論と長完全列をなす。これは古典的ボット＝ゲナウアー列の一般化である。
• ヘリミート Q-構成法はコボルディズム ∞-圏として実現され、幾何的解釈が得られ、加法性定理の簡潔な証明が可能になる。
• カルーブィの基本定理および周期性定理は、2 が逆元としてとられない環、特に複素指向 E1-環に対しても成り立つ。
• パラメトライズド スペクトルの Grothendieck-Witt 理論は、ウェイズとウィリアムズの LA-理論と同値である。
• 2- torsion の逆元が存在しない状況でも、メイヤー＝ビエトリスおよび局所化列が Verdier商に対して成り立つ。
• 2 が逆元としてとられるとき、双対を持つ完全圏の Grothendieck-Witt 空間からコボルディズム圏のスペクトル的実現への自然な写像は同値である。