[論文レビュー] Hermitian K-theory for stable $\\infty$-categories III: Grothendieck-Witt groups of rings

Baptiste Calmès, E. Dotto+7 more|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 43被引用数 9

ひとこと要約

本論文は、環 $ R $ のグロテンディーク・ウットスpectrum と、代数 $ K $-理論の $ \mathrm{C}_2 $-ホモトピー軌道およびラニチの非周期的対称 $ L $-理論を結ぶ基礎的なファイバー列を確立し、古典的結果における $ 2 $-可逆性の仮定を除去することを可能にする。主な貢献は、カローブの分割の整数版を提供することであり、これにより $ \mathbb{Z} $ や数体の整数環などの環におけるグロテンディーク・ウットス群の計算が可能になり、高次元において有限生成性および同型性の結果が得られる。

ABSTRACT

We establish a fibre sequence relating the classical Grothendieck-Witt theory of a ring $R$ to the homotopy $\\mathrm{C}_2$-orbits of its K-theory and Ranicki's original (non-periodic) symmetric L-theory. We use this fibre sequence to remove the assumption that 2 is a unit in $R$ from various results about Grothendieck-Witt groups. For instance, we solve the homotopy limit problem for Dedekind rings whose fraction field is a number field, calculate the various flavours of Grothendieck-Witt groups of $\\mathbb{Z}$, show that the Grothendieck-Witt groups of rings of integers in number fields are finitely generated, and that the comparison map from quadratic to symmetric Grothendieck-Witt theory of Noetherian rings of global dimension $d$ is an equivalence in degrees $\\geq d+3$. As an important tool, we establish the hermitian analogue of Quillen's localisation-d\\'evissage sequence for Dedekind rings and use it to solve a conjecture of Berrick-Karoubi.

研究の動機と目的

• 2 が環で可逆でない状況において、カローブのグロテンディーク・ウットス群の分割を整数的設定に拡張すること。
• 分数体が数体であるデデキンド環におけるホモトピー極限問題を解消すること。
• $ \mathbb{Z} $ や数体の整数環の高次グロテンディーク・ウットス群を計算すること。
• グローバル次元 $ d $ をもつ一様環に対して、二次的から対称的グロテンディーク・ウットス理論への比較写像が次数 $ \geq d+3 $ で同値であることを証明すること。
• ヘルミート的局所化-デヴィサージュ列を用いて、ベリック＝カローブの予想を検証すること。

提案手法

• スペクトルのファイバー列 $ \mathrm{K}(R;M)_{\mathrm{h}C_2} \xrightarrow{\mathrm{hyp}} \mathrm{GW}_{\mathrm{cl}}^s(R;M) \to \mathrm{L}^{\mathrm{short}}(R;M) $ を構成し、$ K $-理論、グロテンディーク・ウットス理論、対称 $ L $-理論を結ぶ。
• ラニチの代数的サーヴィヴァルと $ \mathrm{C}_2 $--equivariantホモトピー論を用いて、非周期的ホモトピー群をもつ連結スペクトルとして $ \mathrm{L}^{\mathrm{short}}(R;M) $ を定義する。
• デデキンド環に対して、クイレンの局所化-デヴィサージュ列のヘリミート的類似を確立し、$ \mathrm{K} $-および $ \mathrm{L} $-理論的データを用いた $ \mathrm{GW} $-群の計算を可能にする。
• ファイバー列を用いて、$ \mathrm{K}(R;M)_{\mathrm{h}C_2} $ および $ \mathrm{L}^{\mathrm{short}}(R;M) $ のホモトピー群の解析を通じて、特に $ R = \mathbb{Z} $ や整数環に対して整数的結果を導出する。
• $ \mathrm{K}(R;M) $ における $ \mathrm{C}_2 $-作用を用いて、$ 2 $-逆元をとった後の $ \mathrm{C}_2 $-不変部分 $ K $-理論およびウィット理論的和成分を回復する。
• $ \mathrm{K} $-および $ \mathrm{L} $-群の $ 2 $-局所および $ p $-局所構造を用い、降下および比較定理を適用して、数体の整数環の $ \mathrm{GW} $-群を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カローブのグロテンディーク・ウットス群の分割を、$ 2 $-可逆でない整数的設定に拡張することは可能か？
• RQ2 $ \mathbb{Z} $ や数体の整数環のグロテンディーク・ウットス群の構造は、$ 2 $-逆元をとらない状況でもどうなっているか？
• RQ3 グローバル次元が有限な一様環に対して、二次的から対称的グロテンディーク・ウットス理論への比較写像は高次元で同値か？
• RQ4 ヘリミート的局所化-デヴィサージュ列はデデキンド環に対して成り立ち、ベリック＝カローブの予想を解消できるか？
• RQ5 $ \mathrm{K}(R;M)_{\mathrm{h}C_2} $ および $ \mathrm{L}^{\mathrm{short}}(R;M) $ のホモトピー群は、どのようにして $ \mathrm{GW} $-群を決定するか？

主な発見

• 任意の環 $ R $ に対して、ファイバー列 $ \mathrm{K}(R;M)_{\mathrm{h}C_2} \to \mathrm{GW}_{\mathrm{cl}}^s(R;M) \to \mathrm{L}^{\mathrm{short}}(R;M) $ が整数的に成立し、カローブの $ 2 $-逆元をとった分割を一般化する。
• $ \mathbb{Z} $ のグロテンディーク・ウットス群は、$ \mathrm{GW}_1^{-\mathrm{gq}}(\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/4 $、$ \mathrm{GW}_3^{-\mathrm{gq}}(\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/24 $、および $ \mathrm{GW}_2^{-\mathrm{gq}}(\mathbb{Z}) \to \mathbb{Z} $ は有限コアーナルをもつ。
• 分数体が数体であるデデキンド環に対してホモトピー極限問題が解決され、$ \mathrm{GW} $-群を計算するためのスペクトル系列の収束が確認された。
• $ \mathrm{GW}^q \to \mathrm{GW}^s $ の比較写像は、グローバル次元 $ d $ をもつ一様環に対して次数 $ \geq d+3 $ で同値であり、$ 2 $- torsion の仮定を不要にする。
• $ \mathrm{C}_2 $-作用が $ \mathrm{K}_n(\mathcal{O};\epsilon)[1/2] $ に与える影響が特定され、数体の整数環の $ 2 $-逆元をとった $ \mathrm{L} $-群は、実埋め込みの数に等しいランクの $ \mathbb{Z}[1/2] $-自由加群である。
• 数体の整数環のグロテンディーク・ウットス群は、ファイバー列および $ \mathrm{K} $-および $ \mathrm{L} $-群の有限性を用いて、有限生成であることが示された。