[論文レビュー] Hermitian operators and convex functions

Jean-Christophe Bourin|ArXiv.org|Jan 13, 2006

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ヘルミート作用素上の凸関数に対して、Jensenの不等式の行列版を確立する。任意の凸関数 $f$ に対して、$f\left(\frac{A+B}{2}\right)$ が $f(A)$ と $f(B)$ の平均によりユニタリにより支配されること、すなわち、あるユニタリ $U,V$ に対して $f\left(\frac{A+B}{2}\right) \leq \frac{Uf(A)U^* + Vf(B)V^*}{2}$ が成り立つことを証明する。これは固有値の支配と圧縮を介して、スカラーの凸性を作用素論へ拡張するものである。

ABSTRACT

Several inequalities for eigenvalues involving convex combinations and compressions are given. These inequalities are matrix version of the basic convexity inequality f((a+b)/2) < (f(a)+f(b))/2.

研究の動機と目的

• スカラーの凸不等式を一般の凸関数について行列設定に拡張すること。
• ヘルミート行列に対するJensen不等式を一般化する作用素不等式を確立すること。
• 現在の結果におけるギャップを埋めるために、単調関数や偶関数に限らないすべての凸関数に対して有効なユニタリに基づく支配枠組みを提供すること。
• 圧縮技術とユニタリ共役を介して固有値の入れ子関係を導出すること。
• Brown-Kosaki や Hansen-Pedersen などの既知のトレース不等式を、ユニタリ支配の統一的枠組みの下で統合・拡張すること。

提案手法

• 新しい圧縮不等式を導入：任意のヘルミート行列 $A$、部分空間 ${\cal E}$、凸関数 $f$ に対して、${\cal E}$ 上のユニタリ $U,V$ が存在し、$f(A_{\cal E}) \leq \frac{1}{2}(Uf(A)_{\cal E}U^* + Vf(A)_{\cal E}V^*)$ が成り立つ。
• スペクトル分解を用いて部分空間 ${\cal E}$ を、$f$ が単調となる2つの部分に分割し、min-max原理の適用を可能にする。
• min-max原理を適用して $f(A_{\cal E})$ の固有値を $f(A)_{\cal E}$ の固有値で抑え込み、ユニタリ同値性と支配関係を導出する。
• スペクトル部分空間上でのブロック対角化を介してユニタリ $U$ と $V$ を構成し、支配不等式を満たすようにする。
• 等長列と部分等長作用素を用いて定理2.1および2.2を導出し、圧縮結果を重み付き平均および凸結合に一般化する。
• 定理1.1（圧縮結果）と定理2.1–2.2（凸結合結果）の間の同値性を確立し、枠組みの一般性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての凸関数（単調関数や偶関数に限らない）に対して、Jensenの不等式の行列版を確立できるか？
• RQ2 $f$ が単調でない場合でも、$f\left(\frac{A+B}{2}\right)$ を $f(A)$ と $f(B)$ の平均によりユニタリで支配できるか？
• RQ3 行列設定におけるこのようなユニタリ支配から、どのような固有値の入れ子関係が生じるか？
• RQ4 圧縮不等式 $f(A_{\cal E}) \leq \frac{1}{2}(Uf(A)_{\cal E}U^* + Vf(A)_{\cal E}V^*)$ を用いて、どのようにトレース不等式を導出できるか？
• RQ5 ユニタリ支配の枠組みは、Brown-Kosaki や Hansen-Pedersen のような既知のトレース不等式を統一できるか？

主な発見

• 任意の凸関数 $f$、ヘルミート行列 $A,B$、$X = f\left(\frac{A+B}{2}\right)$、$Y = \frac{f(A)+f(B)}{2}$ に対して、ユニタリ $U,V$ が存在し、$X \leq \frac{1}{2}(U Y U^* + V Y V^*)$ が成り立つ。
• これにより固有値の支配関係 $\lambda_{2j-1}(X) \leq \lambda_j(Y)$（すべての $j \geq 1$）が得られ、固有値は大きい順に並べられている。
• この結果はvon Neumannのトレース不等式を一般化し、単調凸関数に限らないすべての凸関数へ既存の結果を拡張する。
• 任意の部分空間 ${\cal E}$ と凸関数 $f$ に対して、$f(A_{\cal E}) \leq \frac{1}{2}(Uf(A)_{\cal E}U^* + Vf(A)_{\cal E}V^*)$ が成り立ち、${\cal E}$ 上のユニタリ $U,V$ が存在する。
• この枠組みはBrown-KosakiおよびHansen-Pedersenのトレース不等式を、ユニタリ共役を伴う単一の作用素不等式の下で統合・拡張する。
• 無限次元作用素の場合、主不等式は任意に小さい正の摂動 $rI$ まで成り立ち、固有値の順序は保たれる。