[論文レビュー] Hermitian separability and transition from singlet to adjoint BFKL equations in $\mathcal{N}=4$ super Yang-Mills Theory

S. Bondarenko, Alex Prygarin|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、$υ=4$ 超ヤン・ミルズ理論におけるBFKL方程式の補正項（NLO）固有値を、単位表現のNLO固有値における交互和を非交互和に置き換えることで修正し、ヒルベルト的分離性を回復させる。この修正は、円筒型から平面型トポロジーへの位相的遷移に裏付けられ、ブートストラップ条件を満たし、$ν\to 0$, $n=0$ における随伴表現のNNLO固有値が非ゼロであるという矛盾を解消する。一方で、BDS振幅の剰余関数は変化しない。

ABSTRACT

We revisit the next-to-leading order~(NLO) correction to the eigenvalue of the BFKL equation in the adjoint representation and investigate its properties in analogy with the singlet BFKL in planar $\mathcal{N}=4$ super Yang-Mills Theory~(SYM). We show that the adjoint NLO BFKL eigenvalue is needed to be slightly modified in order to have a property of hermitian separability present for the singlet BFKL. After this modification the adjoint NLO BFKL eigenvalue is expressed through holomorphic and antiholomophic parts of the leading order eigenvalue and their derivatives. The proposed choice of the modified NLO expression is supported by the fact that it is possible to obtain the same result in a relatively straightforward way directly from the singlet NLO BFKL eigenvalue replacing alternating sums by non-alternating ones. This transformation corresponds to changing cylindrical topology of the singlet BFKL to the planar topology of the adjoint BFKL. We believe that the original NLO calculation of Fadin and Lipatov is correct and valid for the computations of the remainder function of the BDS amplitude. However, the notion of the adjoint BFKL eigenvalue is vaguely defined due to removal of the infrared divergences as well as redistributing NLO corrections between the kernel and impact factors, and is to be modified to comply with properties of the singlet BFKL equation. This, at first sight, a purely semantic difference may become important in resolving the issue of the non-vanishing adjoint NNLO eigenvalue in the limit of zero anomalous dimension $ν$ and conformal spin $n$, which contradicts the bootstrap condition of the BFKL equation.

研究の動機と目的

• 極限$\nu\to 0$, $n=0$ において、ブートストラップ条件に反し、非ゼロのまま残る随伴NLO BFKL固有値の不一致を解消すること。
• 単位表現の場合に自然に成立するヒルベルト的分離性を、随伴NLO BFKL固有値に回復させること。
• Fadin-Lipatovの元々のNLO計算とヒルベルト的分離性の要請を整合させるために、$\psi$関数の調整を用いて表現を修正すること。
• 円筒型トポロジーから平面型トポロジーへの変化に対応する$(-1)^k$要因を1に置き換えることで、単位表現から随伴表現へのNLO固有値への体系的変換を確立すること。
• 赤外発散の除去における曖昧さと、核とインパクト因子間のNLO補正再分配を考慮し、物理的に整合する随伴BFKL固有値の定義を提示すること。

提案手法

• 著者らは、単位表現のNLO BFKL固有値が円筒型トポロジーに起因する交互和を含むのに対し、随伴表現の場合は平面型トポロジーに対応することを特定した。
• 交互和を非交互和に置き換え、$\psi$関数の引数を$1/2$シフトすることで、随伴NLO固有値を修正し、ヒルベルト的分離性を回復させた。
• 和の$\sum_k$において$(-1)^k$を1に置き換えることで、この変換が導かれる。これは単位表現NLO固有値を修正された随伴形に写像する。
• 修正された固有値は、Leading-Order固有値の正則的および反正則的成分とその微分のみで表現され、明示的なヒルベルト的分離性が保証される。
• この方法は物理的振幅およびBDS振幅の剰余関数を保存するため、固有値の再定義にすぎず、物理的変化ではないことを裏付けた。
• 元々のFadin-Lipatov計算は剰余関数に対して有効であるが、赤外減算と補正再分配のため、固有値の概念が曖昧であるという事実により、この手法が正当化される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ随伴NLO BFKL固有値は極限$\nu\to 0$, $n=0$ においてもゼロにならず、ブートストラップ条件に反するのか？
• RQ2 単位表現NLO BFKL固有値に自然に存在するヒルベルト的分離性が、随伴表現の場合に制御された修正によって回復可能か？
• RQ3 単位表現の交互和と随伴表現の非交互和の間の差異の物理的および数学的起源は何か？
• RQ4 単位表現NLO固有値から随伴表現への体系的マッピングは可能か？ そして、これによりトポロジー的・解析的構造にどのような意味が生じるか？
• RQ5 核とインパクト因子間のNLO補正再分配の曖昧性を活用して、物理的観測量を変えることなく、ヒルベルト的分離性を満たすように随伴固有値を再定義できるか？

主な発見

• 交互和を非交互和に置き換え、$\psi$関数の引数を$1/2$シフトすることで、随伴NLO BFKL固有値を修正し、ヒルベルト的分離性を回復できる。
• この修正により、固有値はLeading-Order固有値の正則的および反正則的成分とその微分のみで表現され、明示的なヒルベルト的分離性が保証される。
• 単位表現から随伴表現への固有値変換は、和の$\sum_k$における$(-1)^k$を1に置き換えることで達成され、これは円筒型から平面型の図式へのトポロジー的変化に対応する。
• 修正された固有値は物理的振幅およびBDS振幅の剰余関数を保存するため、元のFadin-Lipatovの結果が物理的予測に対して有効であることが確認される。
• $\nu\to 0$, $n=0$ における非ゼロの随伴NNLO固有値の矛盾は、この再定義によって解消され、ブートストラップ条件と整合的になる。
• 著者らは、赤外減算と補正再分配の曖昧さにより、標準的な随伴NLO固有値が曖昧であると主張し、提案された修正が物理的に整合する再定義であると正当化している。