[論文レビュー] Hermitian vector bundles and extension groups on arithmetic schemes. II. The arithmetic Atiyah extension

Jean-Benoît Bost, Klaus Künnemann|ArXiv.org|Jul 28, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 43被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、算術的スキーム上のエルミートベクトル bundle 上のユニタリ接続が代数的でないことを測る障害である、算術的アティヤ類を導入する。この類は、算術的第1チェーン類の消滅と、ピック多様体の普遍ベクトル拡大の有理点との間の関係を確立し、シュナイダー＝ラング超越論を用いて核の有限性を示す。さらに、特徴的ゼロの標数の曲線上へのファイブレーションにおける相対アティヤ類の幾何的特徴付けも与える。

ABSTRACT

In a previous paper, we have defined arithmetic extension groups in the context of Arakelov geometry. In the present one, we introduce an arithmetic analogue of the Atiyah extension that defines an element -- the arithmetic Atiyah class -- in a suitable arithmetic extension group. If $\overline{E}$ is a hermitian vector bundle on an arithmetic scheme $X$, its arithmetic Atiyah class is an obstruction to the algebraicity of the unitary connection on the vector bundle $E_\C$ over the complex manifold $X(\C)$ that is compatible with its holomorphic structure. We develop basic properties of the arithmetic Atiyah class and study its vanishing in the case of hermitian line bundles. This may be translated into a concrete problem of diophantine geometry, concerning rational points of the universal vector extension of the Picard variety of $X$. We investigate this problem, which was already considered and solved in some cases by Bertrand, by using a classical transcendence result of Schneider-Lang, and we derive a finiteness result. We also consider a geometric analog of our arithmetic situation, namely a smooth, projective variety $X$ which is fibered on a curve $C$ defined over some field $k$ of characteristic zero. To any line bundle $L$ over $X$ is attached its relative Atiyah class ${ m at}_{X/C}L$. We describe precisely when this class vanishes. In particular, when the fixed part of the relative Picard variety of $X$ over $C$ is trivial, this holds only when the restriction of $L$ to the generic fiber $X_K$ of $X$ over $C$ is a torsion line bundle.

研究の動機と目的

• エルミートベクトルバンドルを有する算術的スキームの文脈において、算術的アティヤ類を定義し、その性質を調べること。
• ユニタリ接続が複素ファイバー上で代数的でないことを測る障害として、算術的アティヤ類を確立すること。
• ホッジコホモロジーにおける算術的第1チェーン類の消滅とそのディオファントス的意味を調査すること。
• シュナイダー＝ラング超越論を用いて、算術的第1チェーン類の核に関する有限性定理を証明すること。
• 標数ゼロの体上での曲線上へのファイブレーションにおけるラインバンドルの相対アティヤ類の幾何的特徴付けを提供すること。

提案手法

• 算術的スキーム $X$ 上のエルミートベクトルバンドル $\overline{E}$ に対して、算術的アティヤ類を算術的拡張群 $\widehat{\rm Ext}^{1}_{X}(E,E\otimes\Omega_{X/{\mathbb{Z}}}^{1})$ の元として定義する。
• 算術的アティヤ類を用いて、算術的ホッジコホモロジーにおける特徴的類を構成する。
• $\hat{c}_{1}^{H}(\overline{L})$ の消滅を、$X$ のピック多様体の普遍ベクトル拡大上の有理点と関連付ける。
• 古典的シュナイダー＝ラング超越論の結果を適用し、$\hat{c}_{1}^{H}$ の核の有限性を確立する。
• 特徴的ゼロの標数の体上での滑らかで、射影的なファイブレーション $X$ を、曲線 $C$ に沿って考える幾何的アナロジーを分析する。
• $L$ の正の冪が $C$ 上のラインバンドルに下方に降りるという条件によって、$H^1(X, \Omega^1_{X/C})$ 内の相対アティヤ類 $\mathrm{at}_{X/C}(L)$ の消滅を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 算術的アティヤ類 $\widehat{{\rm at}}_{X/{\mathbb{Z}}}(\overline{E})$ が消えるのはいつか？ そして、これは $E_\mathbb{C}$ 上のユニタリ接続の代数的性にどのような意味を持つのか？
• RQ2 算術的第1チェーン類 $\hat{c}_1^H(\overline{L})$ が $\widehat{\rm Ext}^1_X(\mathcal{O}_X, \Omega^1_{X/\mathbb{Z}})$ 内で消えるとき、そのディオファントス的解釈は何か？
• RQ3 シュナイダー＝ラング超越論定理は、$\hat{c}_1^H$ の核の構造をどのように制約するか？
• RQ4 曲線 $C$ 上へのファイブレーション $X \to C$ におけるラインバンドル $L$ に対して、相対アティヤ類 $\mathrm{at}_{X/C}(L)$ が消える幾何的条件は何か？
• RQ5 相対ピック多様体の固定部分が自明であるとき、ラインバンドル $L$ が相対アティヤ類を消滅させるのはいつか？

主な発見

• 算術的アティヤ類 $\widehat{{\rm at}}_{X/{\mathbb{Z}}}(\overline{E})$ は $\widehat{\rm Ext}^{1}_{X}(E,E\otimes\Omega_{X/{\mathbb{Z}}}^{1})$ に属し、$E_\mathbb{C}$ 上のユニタリ接続の代数的性を妨げる。
• $\hat{c}_1^H(\overline{L})$ の消滅は、$X$ のピック多様体の普遍ベクトル拡大上の有理点に対応する。
• シュナイダー＝ラング超越論の結果を用いて、$\hat{c}_1^H$ の核に関する有限性定理が証明される。
• 標識ゼロの体上での滑らかで射影的なファイブレーション $X \to C$ に対して、相対ピック多様体の固定部分が自明である限り、相対アティヤ類 $\mathrm{at}_{X/C}(L)$ が消えるための必要十分条件は、$L$ のある正の冪が $C$ 上のラインバンドルに下方に降りることである。
• 算術的アティヤ類は、算術的ホッジコホモロジーにおける特徴的類を定義するための道具を提供する。
• 本研究により、算術的幾何、超越論、およびアラケロフ理論におけるベクトルバンドルの幾何の間の明確な関係が確立される。