[論文レビュー] Hesse manifolds and Hessian symmetries of multifield cosmological models

Calin Iuliu Lazaroiu|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、スカラー場写像の被覆空間上でのHesse方程式の非自明な解（Hesse関数）を許容するリーマン多様体、すなわちHesse多様体を導入し、多場理論宇宙論モデルにおける隠れた（ヘッセ型）対称性を分類する幾何的枠組みを提示する。完全なHesse多様体は本質的に双曲的であり、Hesse指数が最大 $ n+1 $ であることは、その多様体がポアンカレ球面に等長であることに同値であることを示している。また、Hesse関数が特徴的部分集合からの距離を用いて幾何的データを符号化することにより、双曲幾何の一般化がなされている。

ABSTRACT

I give a brief overview of the mathematical theory of Noether symmetries of multifield cosmological models, which decompose naturally into visible and Hessian (a.k.a. 'hidden') symmetries. While visible symmetries correspond to those infinitesimal isometries of the Riemannian target space of the scalar field map which preserve the scalar potential, Hessian symmetries have a much deeper theory. The latter correspond to Hesse functions, defined as solutions of the so-called Hesse equation of the target space. By definition, a Hesse manifold is a Riemannian manifold which admits nontrivial Hesse functions -- not to be confused with a Hessian manifold (the latter being a Riemannian manifold whose metric is locally the Hessian of a function). All Hesse $n$-manifolds ${\cal M}$ are non-compact and characterized by their index, defined as the dimension of the space of Hesse functions, which carries a natural symmetric bilinear pairing. The Hesse index is bounded from above by $n+1$ and, when the metric is complete, this bound is attained iff ${\cal M}$ is a Poincaré ball, in which case the space of Hesse functions identifies with $\mathbb{R}^{1,n}$ through an isomorphism constructed from the Weierstrass map. More generally, any elementary hyperbolic space form is a complete Hesse manifold and any Hesse manifold whose local Hesse index is maximal is hyperbolic. In particular, the class of complete Hesse surfaces coincides with that of elementary hyperbolic surfaces and hence any such surface is isometric with the Poincaré disk, the hyperbolic punctured disk or a hyperbolic annulus. On a complete Hesse manifold $({\cal M},G)$, the value of any Hesse function $Λ$ can be expressed though the distance from a characteristic subset of ${\cal M}$ determined by $Λ$.

研究の動機と目的

• 多場理論宇宙論モデルにおけるノネル対称性の分類のための幾何的枠組みを構築し、可視的（等長的）対称性と隠れた（ヘッセ型）対称性を区別すること。
• Hesse多様体を定義し、Hesse方程式の非自明な解（Hesse関数）を許容するリーマン多様体として特徴づけること。
• Hesse指数（Hesse関数の空間の次元）と多様体の幾何構造との関係、特に完全な場合の関係を確立すること。
• Hesse指数が最大である完全なHesse多様体が、ワイエルシュトラス写像から構成される同型を介してポアンカレ球面に等長であることの証明。
• 双曲幾何を一般化することを示し、すべての基本的双曲空間形が完全なHesse多様体であることを示し、局所的Hesse指数が最大であれば局所的に双曲的であることを示すこと。

提案手法

• スカラー場写像の被覆空間上でのHesse方程式の非自明な解（Hesse関数）を許容するリーマン多様体としてHesse多様体を定義する。
• Hesse関数の空間の次元としてHesse指数を定義し、自然な対称な双線形形式を備える。
• Hesse指数が最大の場合に、ワイエルシュトラス写像を用いてHesse関数の空間と $ \mathbb{R}^{1,n} $ 間の同型を構成する。
• 完全なHesse多様体がHesse指数 $ n+1 $ を最大に達するための必要十分条件が、その多様体がポアンカレ球面に等長であることであることを示す。
• 双曲幾何の均質化定理を適用し、Hesse指数が局所的に最大である完全なHesse多様体が局所的に双曲的であることを示す。
• 任意のHesse関数 $ \Lambda $ の値および勾配フローを、多様体の特徴的部分集合からの距離関数を用いて幾何的に表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多場理論宇宙論モデルにおける隠れた（ヘッセ型）対称性の背後にある幾何的構造は、被覆空間の可視的等長性を超えてどのようなものか？
• RQ2 Hesse関数の空間は、特に完全な場合に、被覆多様体の幾何とどのように関係しているか？
• RQ3 リーマン多様体が最大Hesse指数を許容する条件は何か？ これはその大域的構造にどのような意味を持つのか？
• RQ4 Hesse多様体を用いて双曲幾何を一般化できるか？ もしそうなら、基本的双曲空間形とはどのように関係しているか？
• RQ5 Hesse関数の値と力学的挙動は、多様体上の距離関数を用いてどのように幾何的に表現できるか？

主な発見

• すべてのHesse $ n $-多様体は非コンパクトであり、Hesse指数は $ n+1 $ で上から有界であり、その上限に達するのは完全な場合に限り、その多様体がポアンカレ球面に等長であるときである。
• 完全なHesse多様体において、Hesse関数の空間はワイエルシュトラス写像を介して $ \mathbb{R}^{1,n} $ に同型であることが示され、ローレンツ幾何と深い関係があることが明らかになった。
• すべての基本的双曲空間形は完全なHesse多様体であり、Hesse指数が局所的に最大であるHesse多様体は局所的に双曲的である。
• 完全なHesse曲面のクラスは、ちょうど基本的双曲曲面（ポアンカレ円板、双曲的穴あき円板、双曲的アニュラス）のクラスと一致する。
• 完全なHesse多様体上での任意のHesse関数 $ \Lambda $ の値は、$ \Lambda $ によって定まる多様体の特定の部分集合からの距離関数として表現できる。
• Hesse関数 $ \Lambda $ の勾配フローは、その関連する特徴的部分集合からの距離関数によって完全に特徴づけられ、幾何的力学的記述が可能である。