[論文レビュー] Heterogeneous Susceptibles-Infectives model: Mechanistic derivation of the power law transmission function

Artem S. Novozhilov|ArXiv.org|Sep 9, 2008

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 26被引用数 14

ひとこと要約

本論文は、ガンマ分布を用いた感受性および感染性の非一様性をモデル化することで、疫学的モデルにおけるべき乗則伝達関数 $ T(S,I) = \beta S^p I^q $ の機構的導出を提供する。感受性と感染性が形状母数 $ k_1 $ および $ k_2 $ のガンマ分布に従う場合、有効伝達率は $ p = 1 + 1/k_1 $、$ q = 1 + 1/k_2 $ を満たすべき乗則形式に一致し、現象論的に用いられてきた関数が集団レベルの非一様性に基づくものであることを示している。

ABSTRACT

In many epidemiological models a nonlinear transmission function is used in the form of power law relationship. It is constantly argued that such form reflects population heterogeneities including differences in the mixing pattern, susceptibility, and spatial patchiness, although the function itself is considered phenomenological. Comparison with large-scale simulations show that models with this transmission function accurately approximate data from highly heterogeneous sources. In this note we provide a mechanistic derivation of the power law transmission function, starting with a simple heterogeneous susceptibles--infectives (SI) model, which is based on a standard mass action assumption. We also consider the simplest SI model with separable mixing and compare our results with known results from the literature.

研究の動機と目的

• 広く用いられているべき乗則伝達関数 $ T(S,I) = \beta S^p I^q $ の機構的基盤を提供すること。この関数はこれまで現象論的扱いであった。
• 連続的分布、特にガンマ分布を用いて感受性および感染性の集団的非一様性をモデル化し、第一原理から伝達関数を導出すること。
• 個体レベルの非一様性（例えば、接触頻度や感受性のばらつき）と集団レベルのモデルで観察される非線形発症パターンとの間の正式な関係を確立すること。
• 理論的枠組みを分離可能な混合（separable mixing）を含めるように拡張し、動的ネットワークシミュレーションと比較すること。

提案手法

• 感受性 $ \omega $ が形状パラメータ $ k_1 $、尺度パラメータ $ \nu_1 $ のガンマ分布に従い、感染性も同様にパラメータ $ k_2 $、$ \nu_2 $ のガンマ分布に従う非一様なSIモデルを定式化する。
• 質量作用則を用いて偏微分方程式 $ \frac{\partial s}{\partial t} = -\beta(\omega) s(t,\omega) I(t) $ を導出する。ここで $ \beta(\omega) $ は個体の感受性に依存する。
• 感受性分布のモーメント生成関数（MGF）を用い、有効伝達率 $ \frac{dS}{dt} = -r h(S) \left[1 - \frac{h(S)}{K}\right] $ を導出する。ここで $ h(S) $ は感受性分布のMGFである。
• 感受性および感染性がガンマ分布に従う場合、有効伝達関数は $ T(S,I) \propto S^p I^q $ のべき乗則形式に簡略化され、$ p = 1 + 1/k_1 $、$ q = 1 + 1/k_2 $ となることを示す。
• 導出されたモデルを動的ネットワークシミュレーションおよび分離可能な混合モデルと比較し、確率生成関数（PGF）を用い、初期条件を一致させて一致度を評価する。
• ポアソン分布およびガンマ分布に従う接触回数を用いた数値シミュレーションにより、導出モデルとネットワークベースのシミュレーションとの等価性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 現象論的べき乗則伝達関数 $ T(S,I) = \beta S^p I^q $ は、非一様感受性および非一様感染性の機構的モデルから導出可能か？
• RQ2 個体レベルの感受性および感染性にどのような分布仮定を置くと、べき乗則発症率が得られるか？
• RQ3 ガンマ分布の形状母数は、べき乗則伝達関数の指数 $ p $ および $ q $ とどのように関係するか？
• RQ4 非一様パラメータを用いた導出モデルは、大規模ネットワークシミュレーションの結果をどの程度近似できるか？
• RQ5 分離可能な混合および動的接触ネットワークを含むモデルは、導出されたべき乗則伝達関数と整合するか？

主な発見

• べき乗則伝達関数 $ T(S,I) = \beta S^p I^q $ は、形状母数 $ k_1 $、$ k_2 $ のガンマ分布に従う非一様なSIモデルから機構的に導出可能であり、$ p = 1 + 1/k_1 $、$ q = 1 + 1/k_2 $ が成り立つ。
• 初期感受性分布が形状 $ k_1 $、尺度 $ \nu_1 $ のガンマ分布、感染性が $ k_2 $、$ \nu_2 $ のガンマ分布に従う場合、有効伝達率はべき乗則形式に一致し、現象論的関数に機構的根拠を与える。
• 接触頻度が平均接触数に依存する分離可能な混合モデルでは、伝達関数は $ \frac{dS}{dt} = -r h(S) \left[1 - \frac{h(S)}{K}\right] $ に相当し、感受性がガンマ分布に従う場合、べき乗則に簡略化される。
• 動的ネットワークシミュレーションとの数値比較では、平均接触数が1（ポアソン(1)）のとき強い一致を示すが、$ \lambda > 1 $ または $ \lambda < 1 $ の場合、徐々に乖離が生じる。ただし、極限的挙動は一貫している。
• 長年の課題であったべき乗則伝達の現象論的使用を解消し、特に $ p, q > 1 $（すなわち $ k_1, k_2 < 1 $）の場合に、非一様分布から自然にこの関数が出現することを示した。
• 本研究は、べき乗則伝達関数が恣意的ではなく、特に接触行動および感受性の個体レベルのばらつきをガンマ分布でモデル化した場合の統計的性質から生じることを確立した。