[論文レビュー] Heun equation and Inozemtsev models

Kouichi Takemura|ArXiv.org|Mar 4, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$BC_N$ 楕円型 Inozemtsev 量子可積分模型の固有値および固有状態を、三角関数的極限（Calogero-Moser-Sutherland模型）からの摂動論を用いて調査する。正則摂動論を用いて、固有値および固有関数が $p = \exp(\pi i \tau)$ の形式的べき級数として収束することを証明し、$|p| < 1$ において実正則性および $L^2$-空間内での完全性を確立する。これにより、三角関数的場合に既知であった結果が楕円型模型へと拡張される。

ABSTRACT

The BC_N elliptic Inozemtsev model is a quantum integrable systems with N-particles whose potential is given by elliptic functions. Eigenstates and eigenvalues of this model are investigated.

研究の動機と目的

• $BC_N$ 楕円型 Inozemtsev 量子可積分模型の固有値および固有状態を調査すること。
• 三角関数的 $BC_N$ Calogero-Moser-Sutherland模型の既知のスペクトル結果を、摂動論を用いて楕円型へ拡張すること。
• $p = \exp(\pi i \tau)$ の形式的べき級数としての固有値および固有関数の収束性および正則性を確立すること。
• $H(p)$ の固有関数系の完全性およびハミルトニアンの離散的かつ純粋に点スペクトルを持つことを確認すること。

提案手法

• $BC_N$ 楕円型 Inozemtsev ハミルトニアン $H(p)$ に摂動論を適用し、$H(p) = H_T + C_T + \sum_{k=1}^\infty V_k(x) p^k$ の形に展開する。ここで $H_T$ は三角関数的模型のハミルトニアンである。
• 固有値 $E_\lambda(p)$ および固有関数 $v_\lambda(p)$ を、$H_T$ のスペクトルデータから再帰的に決定される係数を持つ $p$ の形式的べき級数として構成する。
• Kato-Rellich理論を用いて、$H(p)$ の自己共役拡張 $\tilde{H}(p)$ が $-1 < p < 1$ に対して型(A)の正則族をなすことを証明し、$p$ に対する解析的依存性を保証する。
• 定理3.3および推論3.4により、固有値および固有関数の形式的べき級数の収束が確立され、十分に小さい $|p|$ に対して絶対収束することが示される。
• 固有関数は正規化され、$L^2$-空間 $\mathbf{H}$ において完全正規直交系をなすことが示され、$W(B_N)$-不変性および周期性構造が保たれる。
• 本手法は、既知の三角関数的模型のスペクトル解（命題2.1）に依拠しており、$BC_N$ ヤコビ多項式および超幾何型関数を摂動展開の基底として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $BC_N$ 楕円型 Inozemtsev模型の固有値および固有関数は、$p = \exp(\pi i \tau)$ の形式的べき級数として体系的に構成可能か？
• RQ2 固有値および固有関数の摂動展開は、$|p|$ が小さい範囲で収束するか？
• RQ3 $p=0$ の近傍で、固有値は実正則的で、固有関数は $p$ に関して正則的か？
• RQ4 摂動的固有関数系は、楕円型模型の $L^2$-空間においても完全かつ正規直交のままであるか？
• RQ5 摂動の正則性と模型の完全可積分性との関係は何か？

主な発見

• $BC_N$ 楕円型 Inozemtsev模型の固有値 $E_\lambda(p)$ は、区間 $(-1,1)$ において $p$ の実正則関数であり、$E_\lambda(0) = E_\lambda + C_T$ を満たす。
• 固有関数 $v_\lambda(p)$ は、$L^2$-空間 $\mathbf{H}$ の要素として $p$ に関して正則的であり、$|p| < 1$ に対して完全正規直交族をなす。
• 固有値および固有関数の形式的べき級数は、十分に小さい $|p|$ に対して絶対収束する。これは推論3.4によって保証される。
• $\tilde{H}(p)$ の自己共役ハミルトニアンのスペクトルは、各固有値に対して有限多重度を持つ純粋な離散スペクトルである。
• 摂動法により型(A)の正則族が得られ、スペクトルデータが楕円モジュラスパラメータ $p$ に対して解析的であることが確認された。
• 構成法により、固有関数系の完全性および摂動展開の収束性が確認され、三角関数的から楕円型へのスペクトル解の拡張が実現された。