[論文レビュー] Heuristic Reasoning on Graph and Game Complexity of Sudoku

Zhe Chen|ArXiv.org|Mar 9, 2009

graph theory and CDMA systems参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、スロットルパズルの解法とゲームの複雑さを定量的に測定するための、グラフに基づくヒューリスティック推論フレームワークを提案する。スロットルを制約エッジを備えた有向グラフとしてモデル化し、r-リダクションと推論定理を適用することで、容易および中級のパズルを100%、難易度の高いパズルの70.5%をバックトラッキングを用いずにr-リダクションのみで解ける。全パズルの完全解法には最小限の推論（平均1.6回/パズル）を要するが、新規に提唱されたエントロピーに基づくゲームの複雑さ指標は、3段階の難易度レベルを完璧に区別する。

ABSTRACT

The Sudoku puzzle has achieved worldwide popularity recently, and attracted great attention of the computational intelligence community. Sudoku is always considered as Satisfiability Problem or Constraint Satisfaction Problem. In this paper, we propose to focus on the essential graph structure underlying the Sudoku puzzle. First, we formalize Sudoku as a graph. Then a solving algorithm based on heuristic reasoning on the graph is proposed. The related r-Reduction theorem, inference theorem and their properties are proved, providing the formal basis for developments of Sudoku solving systems. In order to evaluate the difficulty levels of puzzles, a quantitative measurement of the complexity level of Sudoku puzzles based on the graph structure and information theory is proposed. Experimental results show that all the puzzles can be solved fast using the proposed heuristic reasoning, and that the proposed game complexity metrics can discriminate difficulty levels of puzzles perfectly.

研究の動機と目的

• スロットルを有向グラフとして形式化し、構造的な推論とアルゴリズム開発を可能にする。
• r-リダクションと推論定理に基づくヒューリスティックな解法アルゴリズムを開発し、効率的なパズル解法を実現する。
• 人間が感じ取る難易度レベルと相関する、情報理論に基づく定量的ゲーム複雑さ指標を提案する。
• 提案された解法アルゴリズムと複雑さ指標の有効性を、難易度の高いパズルや「地獄の難問」クラスの実世界のスロットルパズルに対して評価する。
• バックトラッキングを一切用いずに、ヒューリスティック推論のみですべてのスロットルパズルを解く可能性を検討する。

提案手法

• スロットルを有向グラフ G = (V, E) としてモデル化し、頂点がセルを表し、エッジが行、列、およびサブグリッドの制約を表す。
• セル (i,j) の頂点候補集合 v_ij を、事前に値 k が入力されている場合は {k} に初期化する。
• r-リダクション定理を導入：ある値 r が、あるセルの制約近傍の候補集合にただ1回しか現れない場合、その値はそのセルに割り当て可能である。
• 推論定理を適用して制約を伝搬させ、接続された頂点間で候補集合を縮小する。
• 情報理論的エントロピーを用いてゲームの複雑さを計算：H = -Σ p_i log p_i、ここで p_i はセルの候補集合における値 i の確率である。
• r-リダクションと推論ステップを組み合わせた解法アルゴリズムを実装し、パズル1つあたりの平均推論回数で複雑さを測定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スロットルパズルは、ヒューリスティック推論を用いた形式的グラフ表現によって、効果的にモデル化され、解けるか？
• RQ2 バックトラッキングを用いずに、r-リダクションルールはスロットルパズルの解法にどの程度効果的か？
• RQ3 エントロピーに基づく提案されたゲーム複雑さ指標は、人間が感じる難易度レベルを正確に反映できるか？
• RQ4 提案されたヒューリスティックアルゴリズムの計算量的複雑さは何か？また、異なる難易度レベルに応じてスケーリングするか？
• RQ5 1つのヒューリスティックルール（例：r-リダクション）のみで、すべてのスロットルパズルを解けるか、それとも追加の推論が必要か？

主な発見

• r-リダクションルールのみで、容易および中級のパズルを100%、難易度の高いパズルの70.5%を解けることが示された。これは強力なヒューリスティック性能を示している。
• 推論ルールを追加することで、10,000個の難易度の高いパズルすべてを完全に解くことができ、平均して1パズルあたりたった1.6回の推論で達成された。
• エントロピーに基づくゲーム複雑さ指標は、難易度を完璧に区別した：容易（0.5362–0.9046）、中級（1.2246–1.3965）、難易度の高い（1.6946–1.8189）。
• 未解決パズルの平均ゲーム複雑さ（1.75349）は、解決済みパズルの平均（1.75226）よりも高かった。これは指標の区別力の妥当性を裏付けた。
• アルゴリズムは、非常に難しい「AI Escargot」パズルを91回の推論で解き、残りの21個の難易度の高いパズルも合計2,442回の推論（平均116回/パズル）で解いた。
• 難易度の高いパズルですら、必要な推論回数が非常に少ないため、実用的な計算量的複雑さはほぼ多項式的であることが確認された。