[論文レビュー] Heuristics for $p$-class towers of imaginary quadratic fields, with an Appendix by Jonathan Blackhurst

Nigel Boston, Michael R. Bush+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、虚二次体の非アーベル $p$-類体塔に対して、Cohen-Lenstra の予想を拡張し、ガロア群 $G_K = \mathrm{Gal}(K_\infty/K)$ である $p$-類体塔群のためのヒューリスティックな分布を提案する。この予想は、すべての有限シュール $\sigma$-群が、自己同型群の位数の逆数に比例する重みで、無限個の虚二次体 $K$ に対して $G_K$ として現れることを予測し、古典的なアーベルの場合を非アーベル $p$-群へ一般化する。

ABSTRACT

Cohen and Lenstra have given a heuristic which, for a fixed odd prime $p$, leads to many interesting predictions about the distribution of $p$-class groups of imaginary quadratic fields. We extend the Cohen-Lenstra heuristic to a non-abelian setting by considering, for each imaginary quadratic field $K$, the Galois group of the $p$-class tower of $K$, i.e. $G_K:=\mathrm{Gal}(K_\infty/K)$ where $K_\infty$ is the maximal unramified $p$-extension of $K$. By class field theory, the maximal abelian quotient of $G_K$ is isomorphic to the $p$-class group of $K$. For integers $c\geq 1$, we give a heuristic of Cohen-Lentra type for the maximal $p$-class $c$ quotient of $\G_K$ and thereby give a conjectural formula for how frequently a given $p$-group of $p$-class $c$ occurs in this manner. In particular, we predict that every finite Schur $σ$-group occurs as $G_K$ for infinitely many fields $K$. We present numerical data in support of these conjectures.

研究の動機と目的

• 虚二次体の非アーベル $p$-類群から非アーベル $p$-類体塔群への Cohen-Lenstra ヒューリスティックの拡張を図ること。
• 有限 $p$-群が $p$-類体塔群として現れる確率測度を、自己同型群の位数の逆数に基づいて定義すること。
• すべての有限シュール $\sigma$-群が、無限個の虚二次体 $K$ に対して $G_K$ として現れることを予測し、古典的な Cohen-Lenstra 猜測を非アーベル $p$-群へ一般化すること。
• $p$-類 $c$ の $p$-類体塔群のための提示されたヒューリスティック分布を支持する数値的証拠を提供すること。

提案手法

• 有限 $p$-群の $p$-類 $c$ のカテゴリに Cohen-Lenstra の哲学を適応し、$|\mathrm{Aut}(G)|$ の逆数に比例する重みを割り当てる。
• $p$-群 $G$ の出現頻度を、判別式で順序付けられた体 $K$ のうち $G_K \cong G$ となるものの割合の極限として定義する。
• 類体論を用いて $G_K^{\mathrm{ab}} \cong A_K$（$K$ の $p$-類群）を同定し、$p$-類体塔の高次の段階へ拡張する。
• $G_K$ の最大の $p$-類 $c$ 商のヒューリスティックを構築し、自己同型群の逆数による重み付けを用いてその分布をモデル化する。
• $p$-群の理論、スタム拡張、および核を用いて、群が $p$-類体塔群として実現可能である条件を分析する。
• $p$-被覆群の構成と中心拡張を用いて、シュール乗数と核を分析し、それらを $G_K$ としての実現可能性と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された奇素数 $p$ に対して、虚二次体 $K$ の $p$-類体塔群 $G_K$ の分布をモデル化する自然な確率分布として、有限 $p$-群にどのような分布が適しているか？
• RQ2 どの有限 $p$-群が、ある虚二次体 $K$ に対して $G_K = \mathrm{Gal}(K_\infty/K)$ として現れるか？
• RQ3 すべての有限シュール $\sigma$-群が、無限個の虚二次体 $K$ に対して $G_K$ として現れるか？
• RQ4 自己同型群の位数の逆数 $1/|\mathrm{Aut}(G)|$ が、$G_K \cong G$ の出現頻度を予測する際に自然な重みとして機能する理由は何か？
• RQ5 $p$-群 $G$ が虚二次体の $p$-類体塔群として実現可能であるための条件は何か？

主な発見

• 本論文は、虚二次体の $p$-類体塔群 $G_K$ に対して、自己同型群の位数の逆数に比例する重みを割り当てるヒューリスティック分布を提案し、古典的な Cohen-Lenstra ヒューリスティックを非アーベル設定へ一般化した。
• すべての有限シュール $\sigma$-群が、無限個の虚二次体 $K$ に対して $G_K$ として現れると予測し、古典的予想を非アーベル $p$-群へ拡張した。
• $p$-群 $G$ の核が非自明であることは、$G$ が非自明なスタム拡張を持つことと同値であり、これは $G$ のシュール乗数が非自明であることを意味する。
• $p$-被覆群の構成を用いて、$G$ が非自明な核を持つならば、非自明なスタム拡張を持つことが示され、シュール乗数の条件が確認された。
• 予想された分布を支持する数値的データが提示され、$p$-類体塔群の出現頻度が予測と強く一致していることが示された。
• 核の構造と $p$-類体塔群としての実現可能性との間に、導来部分群が核に等しい中心拡張の存在を介して構造的関係が確立された。