[論文レビュー] Heuristics for Symmetric Rectilinear Matrix Partitioning

Abdurrahman Yaşar, Ümit V. Çatalyürek|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2019

Graph Theory and Algorithms参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、高価な頂点再順序付けやハイパーグラフモデルを必要としない軽量な空間的手法を用いて、スパースな正方行列の対称的長方形分割のための5つのヒューリスティクスを提案する。提案されたアルゴリズムは、Nicolの最先端の手法と同等またはそれ以上の負荷不均衡を達成しており、PTCおよびPBDが多様なグラフワークロードにおいて最良の性能を示している。

ABSTRACT

Partitioning sparse matrices and graphs is a common and important problem in many scientific and graph analytics applications. In this work, we are concerned with a spatial partitioning called rectilinear partitioning (also known as generalized block distribution) of sparse matrices, which is needed for tiled (or {\em blocked}) execution of sparse matrix and graph analytics kernels. More specifically, in this work, we address the problem of symmetric rectilinear partitioning of square matrices. By symmetric, we mean having the same partition on rows and columns of the matrix, yielding a special tiling where the diagonal tiles (blocks) will be squares. We propose five heuristics to solve two different variants of this problem, and present a thorough experimental evaluation showing the effectiveness of the proposed algorithms.

研究の動機と目的

• p×pタイルに分割された対称的スパース行列を、行と列の分割が等しく、対角タイルが正方形になるように分割する課題に対処すること。
• 高価な頂点再順序付けやハイパーグラフモデリングを回避する、効率的で軽量な対称的長方形分割のヒューリスティクスを開発すること。
• 次数ベース、RCM、NATの異なる頂点順序付けがタイル配布と負荷不均衡に与える影響を評価すること。
• 特に並列的かつ異種アーキテクチャ向けに、タイル化されたスパース行列およびグラフ分析カーネルの負荷バランスを改善すること。
• 制約付きの行／列アラインメントを持つ対称的分割が、より柔軟な非対称的手法に比べて実際の応用で優れていることを示すこと。

提案手法

• 対称的長方形制約下で、負荷不均衡を最小化する（mLI）およびカット数を最小化する（mNC）という2つの問題変種を提案する。
• 最適な分割を行列入れ替えの和に適用することで、2次元分割を1次元に還元するリファインメントベースのヒューリスティクスを設計する。
• 局所探索を用いて最適なカットを反復的に探索するプローブベースのヒューリスティクスを設計し、行列構造と頂点順序付けに従ってガイドする。
• PTCにおける負荷不均衡計算の高速化を図るため、フェニックツリーにインspiredされたスパースプレフィックス和データ構造を用い、検索時間をO(n)からO(log n)に短縮する。
• 分割品質に与える影響を評価するため、3つの頂点順序付け（NAT（自然順）、DEG（次数ベース）、RCM（逆Cuthill-McKee））を統合する。
• 実世界の多様なグラフ（スパarsityとサイズの違いあり）を対象に、6つのアルゴリズム（NIC, PBI, PBD, PTC, BTL, PTL）を実装・比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同一の行と列のカットを伴う対称的長方形分割が、より柔軟な非対称的分割に比べて負荷不均衡の観点で優れているか？
• RQ2 NAT、次数ベース、RCMの異なる頂点順序付けが、対称的長方形分割の品質に与える影響は何か？
• RQ3 プローブベースとリファインメントベースのヒューリスティクスの間で、実行時間と負荷不均衡のトレードオフは何か？
• RQ4 複雑なハイパーグラフ分割モデルに依存せず、軽量な空間的ヒューリスティクスが競争力のある結果を達成できるか？
• RQ5 スパースプレフィックス和データ構造は、PTCにおける負荷不均衡計算のパフォーマンスをどのように向上させ、実行時間にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 提案されたPTCヒューリスティクスは、テストインスタンスの大部分で最良の負荷不均衡を達成しており、Nicolのアルゴリズムをすべてのケースで上回っている。
• PBDは負荷不均衡の観点で2番目に優れたアルゴリズムであり、PBIはNICベースラインとほぼ同等の性能を示している。
• プローブベースのアルゴリズム（BTL, PTL）はリファインメントベースのもの（PBI, PBD）と同等の性能を示しており、BTLとPTLはPBIとPBDよりも低いカット数を達成している。
• NAT頂点順序付けを用いることで、非ゼロ要素の分布がより均一になるため、RCM や次数ベース順序付けに比べてカット数が少なくなる。
• スパースプレフィックス和データ構造により、PTCの実行時間はNicolより2〜3桁遅くなる状況から、Nicolより4〜43倍遅くなるまで短縮され、大規模グラフにおいて実用的になった。
• 最大のグラフ（例：friendster, twitter）では、mLI問題においてPBDが最も高速なアルゴリズムであり、PTCは最も遅いが最も正確な結果を出している。