[論文レビュー] Hidden automatic sequences

Jean‐Paul Allouche, F. M. Dekking+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2020

semigroups and automata theory参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非一様自己準同型によって生成されるモーフィック系列が実際に自動的（特にq自動的）であるかどうかを特定する基準を導入する。自己準同型の接続行列のスペクトル半径と長さベクトルが左固有ベクトルであるかどうかを用いて、明示的な構成を経由せずに自動的性を同定する。主な貢献は、モーフィック系に「隠れた自動的系列」が存在することを特定する一般定理であり、グリゴルチューク類似群やリスエノク固定点といった既知の系列への応用を含む。

ABSTRACT

An automatic sequence is a letter-to-letter coding of a fixed point of a uniform morphism. More generally, we have morphic sequences, which are letter-to-letter codings of fixed points of arbitrary morphisms. There are many examples where an, a priori, morphic sequence with a \emph{non-uniform} morphism happens to be an automatic sequence. An example is the Lysënok morphism $a o aca$, $b o d$, $c o b$, $d o c$, the fixed point of which is also a 2-automatic sequence. Such an identification is useful for the description of the dynamical systems generated by the fixed point. We give several ways to uncover such hidden automatic sequences, and present many examples. We focus in particular on morphisms associated with Grigorchuk(-like) groups.

研究の動機と目的

• 非一様自己準同型によって定義されるモーフィック系列が実際にq自動的である条件を特定すること。
• 「隠れた自動的系列」（自動的でもあるモーフィックに生成される系列）を認識する一般基準を提供すること。
• グリゴルチューク類似群や既知のモーフィック系から生じる系列にこの基準を適用すること。
• リスエノク自己準同型の固定点の自動的性に関する長年の未解決問題を解消すること。
• 軌道閉包と複雑度の議論を用いて、自動的でないことが保証される条件を確立すること。

提案手法

• デッキングが1978年に提示した定理を再定式化し、非消去的自己準同型の長さベクトルがその接続行列の左固有ベクトルであれば、固定点はq自動的であることを示す。ここでqはスペクトル半径に等しい。
• 画像語内の位置でインデックス付けられた記号の記号的再配置を用いて、導出された一様自己準同型を構成し、自動的性の伝播を可能にする。
• 主定理の特殊ケースであるアナグラム定理を用いて、非一様自己準同型によって定義されるOEISの系列の自動的性を検証する。
• スペクトル半径と固有ベクトル条件を適用し、リスエノク自己準同型の固定点が2自動的であることを確認する。
• スペクトル条件が満たされない場合、特にシュトゥルム型または非線形複雑度系列に対して、軌道閉包と複雑度の議論を用いて自動的でないことを証明する。
• 力学系および自動的系列の結果を活用し、自己相似群の文脈においてモーフィック構造と自動的構造を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様自己準同型の固定点がいつq自動的であるか。
• RQ2 リスエノク自己準同型の固定点が、一般基準を用いて2自動的と識別可能か。
• RQ3 スペクトル条件が満たされない場合、自動的である系列とそうでない系列をどのように区別できるか。
• RQ4 接続行列の固有ベクトルとスペクトル半径は、隠れた自動的系列を同定する上で果たす役割は何か。
• RQ5 特にグリゴルチューク群に関連する系列において、構造的または複雑度論的障害が自動的性に与える影響は何か。

主な発見

• 自己準同型 $a\to aca$, $b\to d$, $c\to b$, $d\to c$ の固定点は、固有ベクトル条件とスペクトル半径2の両方を満たすため2自動的であることが確認された。
• 非一様自己準同型によって定義されるイストライルの平方自由系列も、同様の基準により3自動的であることが示された。
• 自己準同型 $a\to aca$, $b\to bc$, $c\to b$ の固定点は自動的でない。その部分列がシュトゥルム型であるため、自動的ではあり得ない。
• 自己準同型 $a\to aca$, $c\to cd$, $d\to c$ の固定点も、導出された部分列がシュトゥルム型であるため自動的でない。
• フェルマー数列のような無理数的記号頻度を有する系列は自動的でない。これは、自動的性には有理数的頻度が必須であることを確認する。
• アナグラム定理により、長さベクトル上の固有ベクトル条件をチェックすることで、OEISに掲載されたモーフィック系列の自動的性を実用的に検証できる。