[論文レビュー] Hidden classical symmetry in quantum spaces at roots of unity : From q-sphere to fuzzy sphere

Antal Jevicki, Mihail Mihailescu+1 more|ArXiv.org|Aug 23, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 33被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、量子群対称性を明示的に持つ q-球面（q = e^{iπ/M} における SUq(2)/U(1) の商として実現）と、古典的 SU(2) 対称性を明示的に持つファジー球面との間の明確な数学的関係を確立する。q-球面代数が、Uq(SU(2)) の根の単位根における表現理論と変形写像を用いて、標準的な SU(2) 表現を含む不分解表現に分解されることを示し、その部分表現がファジー球面の標準的 SU(2) 表現と同型であることを明らかにすることで、特定の場のクラスについて、両空間上での場の理論の等価性を実現する。

ABSTRACT

We study relations between different kinds of non-commutative spheres which have appeared in the context of ADS/CFT correspondences recently, emphasizing the connections between spaces that have manifest quantum group symmetry and spaces that have manifest classical symmetry. In particular we consider the quotient $SU_q(2)/U(1)$ at roots of unity, and find its relations with the fuzzy sphere with manifest classical SU(2) symmetry. Deformation maps between classical and quantum symmetry, the $U_q(SU(2))$ module structure of quantum spheres and the structure of indecomposable representations of $U_q(SU(2))$ at roots of unity conspire in an interesting way to allow the relation between manifestly $U_q(SU(2)$ symmetric spheres and manifestly U(SU(2)) symmetric spheres. The relation suggests that a subset of field theory actions on the q-sphere are equivalent to actions on the fuzzy sphere. The results here are compatible with the proposal that quantum spheres at roots of unity appear as effective geometries which account for finite N effects in the ADS/CFT correspondence.

研究の動機と目的

• 量子群対称性を明示的に持つ非可換球面（q-球面）と、古典的対称性を明示的に持つ非可換球面（ファジー球面）との関係を明確化すること。
• 根の単位根における量子群対称性が、非可換幾何学において古典的対称性とどのように共存できるかを調査すること。
• 特定の場のクラスについて、q-球面とファジー球面の両者上での作用の場の理論的等価性を確立すること。
• 変形写像とドリンフェルトのねじり（Drinfeld twist）が、両幾何の積構造とモジュール構造をどのように関連付けるかを明らかにすること。
• 量子群対称空間を通じて、AdS/CFT 対応における有限 N 効果を理解するための枠組みを提供すること。

提案手法

• q = e^{iπ/M} における SUq(2)/U(1) の商として q-球面を構成し、生成子が q-変形された SU(2) 関係を満たすことを確認する。
• q-球面代数の Uq(SU(2)) モジュール構造を解析し、それが不分解表現に分解されることを示す。
• q-球面の表現スペクトル内に、ファジー球面に現れる既約 SU(2) 表現の直和と一致する部分モジュールを同定する。
• 量子対称性代数と古典的対称性代数の間の変形写像を適用し、Aq と Af の非可換積構造を関連付ける。
• 根の単位根における Uq(SU(2)) の不分解表現の理論を用いて、Aq の部分モジュールとファジー球面代数 Af 間の同型を確立する。
• ドリンフェルトのねじりとコプロダクト変形を用いて、部分モジュール上に新しい積を定義し、それが Af と同型な部分代数となるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 根の単位根における明示的 Uq(SU(2)) 対称性を持つ非可換空間が、明示的 SU(2) 対称性を持つ空間とどのように関係づけられるか？
• RQ2 q-球面とファジー球面との間の正確な代数的・表現論的関係は何か？
• RQ3 q-球面上で定義された場の理論が、変形写像を介してファジー球面上の場の理論に写像可能か？
• RQ4 根の単位根における Uq(SU(2)) の不分解表現が、量子的および古典的対称性を持つ非可換幾何を結ぶ役割を果たすか？
• RQ5 変形写像とドリンフェルトのねじりの下で、q-球面とファジー球面のモジュール構造と積構造はどのように関係するか？

主な発見

• q = e^{iπ/M} における q-球面代数 Aq は、Uq(SU(2)) の不分解表現に分解され、その中にはファジー球面に現れる標準的 SU(2) 表現の直和と同型な部分モジュールが存在する。
• M = 2(2J + 1) のとき、q-球面のスペクトルは、N = 2J + 1 におけるファジー球面 Af(N) と完全に一致し、明確な対応関係が確立される。
• 量子対称性代数と古典的対称性代数の間の変形写像により、共通部分モジュール上での Aq と Af の積構造の間の1対1対応が可能になる。
• SU(2) 表現部分モジュールと変形積のみを用いる場の理論のサブセットは、ファジー球面 Af 上の場の理論と等価である。
• Af(M/2) と Af(M) は、ともに同じ対称性代数を持つ有限次元 Uq(SU(2))-モジュール代数であるが、コプロダクト構造は異なり、Af(M) は標準的、Af(M/2) はねじれた構造を持つ。
• 結果は、根の単位根における量子球面が、AdS/CFT 対応における有限 N 効果を記述する有効幾何として現れるという仮説を支持する。