[論文レビュー] Hidden Nambu mechanics - A variant formulation of Hamiltonian systems -

A. Horikoshi, Yoshiharu Kawamura|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2013

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ひとこと要約

本稿では、冗長な変数を用いたNambu力学に基づくハミルトニアン系の新しい定式化を提案する。任意のハミルトニアン系が、元のハミルトニアンと誘導された制約を含む一般化Nambu括弧を用いたNambu系に再定式化可能であることを示している。主な貢献は、余分な自由度を有する拡張された位相空間がNambu力学を生じさせることを統一的枠組みとして提示した点であり、第一級制約を有する系に対しても適用可能で、関連する分配関数が導出可能である。

ABSTRACT

We propose a variant formulation of Hamiltonian systems by the use of variables including redundant degrees of freedom. We show that Hamiltonian systems can be described by extended dynamics whose master equation is the Nambu equation or its generalization. Partition functions associated with the extended dynamics in many degrees of freedom systems are given. Our formulation can also be applied to Hamiltonian systems with first class constraints.

研究の動機と目的

• 冗長な自由度を有する変数を用いたハミルトニアン系の変種定式化を開発すること。
• このような系が、複数のハミルトニアンと制約を含む一般化マスタ方程式を用いたNambu力学で記述可能であることを示すこと。
• 多体系および第一級制約を有する系へその定式化を拡張すること。
• 多数の自由度における拡張された動力学の分配関数を導出すること。
• 変数の再定義を通じて、標準的ハミルトニアン力学とNambu力学の橋渡しを確立すること。

提案手法

• N ≥ 3 個の変数 (x₁,…,xₙ) を基本的な自由度として導入し、それらを正準変数 (q,p) と関数的に関係付ける。
• xᵢ と (q,p) 間の関数的依存関係から誘導される制約を導出し、それらを追加の保存量として扱う。
• 元の H と制約を一般化ハミルトニアンとして含む N−1 個のハミルトニアンを用いた一般化Nambu方程式を用いて時間発展を定式化する。
• N次元のヤコビアン行列式を用いて定義されるNambu括弧を用いて、動力学を表現する。
• 拡張位相空間における第一級制約を扱うために、Diracの制約形式を適用する。
• Nambu力学への経路積分法の一般化を用いて、拡張Nambu系の分配関数を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアン系は、冗長な変数を用いたNambu力学で再定式化可能か？
• RQ2 変数の冗長性に起因する制約は、Nambu力学にどのように影響を与えるか？
• RQ3 Nambu形式は、元のハミルトニアンと誘導された制約を動的生成子として含めるように一般化可能か？
• RQ4 拡張Nambu定式化における分配関数の構造はいかなるものか？
• RQ5 Nambu定式化は、第一級制約を有する系をどのように扱うか？

主な発見

• 正準変数 (q,p) を有する任意のハミルトニアン系は、N ≥ 3 個の変数 (x₁,…,xₙ) を用いたNambu系に再定式化可能であり、その動力学は一般化Nambu方程式に従う。
• 変数の冗長性に起因する誘導制約は、Nambu枠組みにおいて追加のハミルトニアンとして機能することが示され、元のHと制約関数G_cを含むN−1個のハミルトニアンによる一貫性のあるNambu方程式が得られる。
• 任意の関数 ƒ(x₁,…,xₙ) の時間発展は、一般化ハミルトニアン（元のHと制約関数G_cを含む）とのNambu括弧を用いて表現される。
• 多数の自由度への拡張において、拡張Nambu動力学の分配関数が明示的に構築可能である。
• 第一級制約を有する系に対しては、Nambu定式化が自然に制約を保存量として組み込み、一般化Nambu括弧のもとで動力学が一貫性を保つ。
• 本稿では、Nambu力学が特殊な系に限定されるのではなく、冗長な変数が用いられるとき、一般ハミルトニアン力学の背後にある隠れた構造であることが示された。