[論文レビュー] Hidden Quantum Markov Models and non-adaptive read-out of many-body states

Alex Monràs, Almut Beige+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 23被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、ボルツマン測定に代わる確率的量子操作を用いることで、量子有限状態生成機の一般化である隠れ量子マルコフモデル（HQMM）を導入する。これにより、確率的過程のより効率的な圧縮が可能になる。HQMMが、古典的隠れマルコフモデルでは生成できない、交互な二値系列のような過程言語を生成できることを示し、1次元クラスター状態の非適応的読み出しと2状態HQMMが同等であることを示す。これは、量子モデルが古典モデルよりも高い圧縮を達成できることを証明する。

ABSTRACT

Stochastic finite-state generators are compressed descriptions of infinite time series. Alternatively, compressed descriptions are given by quantum finite- state generators [K. Wiesner and J. P. Crutchfield, Physica D 237, 1173 (2008)]. These are based on repeated von Neumann measurements on a quantum dynamical system. Here we generalise the quantum finite-state generators by replacing the von Neumann pro jections by stochastic quantum operations. In this way we assure that any time series with a stochastic compressed description has a compressed quantum description. Moreover, we establish a link between our stochastic generators and the sequential readout of many-body states with translationally-invariant matrix product state representations. As an example, we consider the non-adaptive read-out of 1D cluster states. This is shown to be equivalent to a Hidden Quantum Model with two internal states, providing insight on the inherent complexity of the process. Finally, it is proven by example that the quantum description can have a higher degree of compression than the classical stochastic one.

研究の動機と目的

• ボルツマン測定の代わりに確率的量子操作を用いることで、量子有限状態生成機を一般化し、より広いクラスの過程言語の生成を可能にする。
• HQMMと行列積状態（MPS）表現を持つ多体量子状態の非適応的読み出しとの間の明確な対応関係を確立する。
• HQMMが、特定の過程言語に関して、古典的確率的有限状態機械よりも高い圧縮効率を達成できることを示す。
• 制限されたアクセスを持つ逐次測定プロセスをモデル化するための量子理論的枠組みを提供する。これは、測定に基づく量子計算に関連する。
• 量子記憶と非射影的測定が、過程生成に必要な内部状態数を削減する役割を果たすかを調査する。

提案手法

• 量子有限状態生成機における射影的（ボルツマン）測定を、一般の量子操作（完全正則写像）に置き換え、非決定的かつ非崩壊的状態遷移を可能にする。
• 各測定結果が量子操作を引き起こし、その結果に応じて系の状態が更新される動的開放量子系としてシステムをモデル化する。
• 量子操作をKraus作用素形式で表現し、各結果に対応するKraus作用素$ K_y $を定義し、測定後の状態を$ \rho' = \sum_y K_y \rho K_y^\dagger $とする。
• 繰り返し適用される量子操作と測定によって得られる古典的測定結果の系列を、過程言語として定義する。
• 交互な二値系列のような特定の過程に対して、適切なKraus作用素を設計し、目的の結果統計を再現するHQMMを構築する。
• 1次元クラスター状態の非適応的読み出しと2レベルHQMMとの間の同等性を確立し、測定統計が、特定の量子操作を繰り返し適用する量子系と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的量子操作は、ボルツマン測定に代わる量子有限状態生成機を、ボルツマン測定ベースのモデルでは到達できないより広いクラスの確率的過程をモデル化できるように一般化できるか？
• RQ2 1次元クラスター状態の非適応的読み出しと、一般化測定を用いる量子有限状態機械との間に直接的な対応関係があるか？
• RQ3 同じ過程言語に対して、HQMMは古典的隠れマルコフモデルよりも少ない内部状態数を達成できるか？
• RQ4 量子記憶と非射影的測定が、確率的過程のより効率的な圧縮を可能にする役割は何か？
• RQ5 基礎となる量子系の次元数が、生成可能な過程言語のクラスにどのような制限を課えるか？

主な発見

• HQMMは、非射影的かつ確率的な量子操作を許容することで、ボルツマン測定に基づくモデルでは到達できない過程言語の生成を可能にする。
• 1次元クラスター状態の非適応的読み出しは、2状態の隠れ量子マルコフモデルと同等であり、多体系におけるHQMMの直接的な物理的実装を示している。
• 確率が不等しい交互な二値系列は、2状態の隠れマルコフモデルでは生成できないが、非射影的測定を用いる2状態HQMMでは成功裏に生成可能である。
• 交互な系列のHQMM表現は、Kraus作用素$ K_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle\langle\uparrow| $、$ K_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}|\downarrow\rangle\langle\downarrow| $、$ K_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle\langle+| $、$ K_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\langle-| $で構成され、正しい結果統計を再現する。
• 式（75）の遷移行列で記述されるモデルは2状態HMMでは実装不可能だが、式（88）のHQMMでは実現可能であり、圧縮における量子的優位性を証明する。
• 本論文は、例を通じて、量子記述が古典的確率的モデルよりも高い圧縮を達成できることを示しており、同じ過程に対してHQMMは最小の古典的HMMよりも少ない内部状態数を用いている。