[論文レビュー] Hidden quasi-local charges and Gibbs ensemble in a Lindblad system

Marius de Leeuw, Chiara Paletta+2 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2023

Quantum many-body systems参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、可解スピンチェーンからの隠れた擬局所保存量を用いて、Lindblad系において非平衡定常状態（NESS）を構築する。虚数結合 Hubbard モデルを転送行列 $ T(\gamma) $ により変形することで、ギブス型の形をとる正確な NESS を導出し、局所演算子の定常状態期待値が解析的予測と一致することを示し、保存量が非平衡統計力学において果たす役割を確認する。

ABSTRACT

We consider spin-1/2 chains with external driving that breaks the continuous symmetries of the Hamiltonian. We introduce a family of models described by the Lindblad equation with local jump operators. The models have hidden strong symmetries in the form of quasi-local charges, leading to multiple non-equilibrium steady states. We compute them exactly in the form of Matrix Product Operators, and argue that they are the analogues of quantum many body scars in the Lindbladian setting. We observe that the dynamics leads to the emergence of a Gibbs ensemble constructed from the hidden charges.

研究の動機と目的

• 開境界条件をもつLindblad駆動量子スピンチェーンにおける非平衡定常状態（NESS）の構築を目的とする。
• 特に形式 $[ab]_m$ の擬局所電荷の変形によって、NESS が生じることを示すこと。
• 転送行列 $ T(\gamma) $ を用いて有効ハミルトニアンと跳躍演算子を特定し、NESS とギブス集合体との関係を確立すること。
• 局所 $ Z $-演算子の定常状態期待値がギブス集合体の予測と解析的に一致することを証明し、有効熱平衡化の図式を検証すること。

提案手法

• 行列積演算子（MPO）転送行列 $ T(\gamma) $ を用い、2次元補助空間上に作用する $ A_j(\gamma) $ 行列によって定義され、保存電荷を生成する。
• $ T(\gamma) $ の対数展開により、擬局所生成子 $ \mathcal{G}(\gamma) = i\sum_{m\geq1} \frac{\gamma^m}{2m}[YX]_m $ が得られ、これがLindbladianの変形を生成する。
• 転送行列 $ T(\gamma) $ を用いて跳躍演算子 $ \ell(j) $ を共役変換し、変形された跳躍演算子を含む完全なLindbladianを構築する。
• NESS はLindbladianの唯一の固定点として得られ、その密度行列は保存電荷を含む有効ハミルトニアンに関するギブス状態と等価であることが示される。
• 超幾何関数を用いて定常状態期待値 $ \langle Z_j \rangle $ の解析的表現を導出し、本文の正確な結果と一致することを確認する。
• $ \gamma $ の級数展開において、各次数で等価性が証明され、高次項が打ち消され、$ \gamma^0, \gamma^2, \gamma^L, \gamma^{2L} $ で一致することが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lindblad系における非平衡定常状態（NESS）は、もとの可解ハミルトニアンの保存電荷を用いて構築可能か？
• RQ2 転送行列 $ T(\gamma) $ はLindbladianの変形をどのように生成し、NESS 構造を保存するのか？
• RQ3 得られたNESSはギブス的挙動を示し、保存電荷によって定義される熱的集合体の期待値と一致するか？
• RQ4 擬局所電荷 $[YX]_m$ は、NESS の有効ダイナミクスを生成する上で果たす役割は何か？
• RQ5 期待値 $ \langle Z_j \rangle $ の $ \gamma $-展開における高次項がなぜ消えるのか？これはギブス形式とどのように整合するのか？

主な発見

• NESS は転送行列 $ T(\gamma) $ を用いて明示的に構築され、跳躍演算子の共役変換によってLindbladianの変形が生成される。
• 定常状態期待値 $ \langle Z_j \rangle $ は解析的に導出され、ギブス集合体の予測と一致することが示され、有効熱平衡化が確認される。
• $ \langle Z_j \rangle $ の式には $ \gamma^0, \gamma^2, \gamma^L, \gamma^{2L}, \gamma^{L+2}, \gamma^{2L+2} $ のみの項が含まれ、他の項は対称性および超幾何関数の恒等式により消える。
• 超幾何関数の和における $ f=0 $ および $ f=1 $ 項が、全ギブス予測を再現するのに十分であり、高次の $ f $ 項は $ {}_1F_0 $ 恒等式および二項係数の構造により消える。
• $ f=L/2 $ の項は、奇数 $ n $ に対して $ \sin(n\pi) $ が消えること、偶数 $ n $ に対しては超幾何級数内の $ k $ の和が全体でゼロになることから消える。
• 最終的な $ \langle Z_j \rangle $ の式は、本文の式 (27) と等価であることが証明され、構築法およびギブス集合体の図式の妥当性が確認される。