[論文レビュー] Hiding the Drift

Miklós Rásonyi, Walter Schachermayer+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 1被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、$ S_t $ が非自明な予測可能 drift $ \mu_t $ を持つブラウン運動であるにもかかわらず、その自然 filtration に関して $ (H \cdot S)_t $ がブラウン運動となるような予測可能過程 $ H $ を構築する。主な貢献は、drift を任意に固定された $ \mu > 0 $ の周囲に任意に近づけて閉じ込められることを示したことである。

ABSTRACT

In this article we consider a Brownian motion with drift of the form \[dS_t=\mu_t dt+dB_t\qquadfor t\ge0,\] with a specific nontrivial $(\mu_t)_{t\geq0}$, predictable with respect to $\mathbb{F}^B$, the natural filtration of the Brownian motion $B=(B_t)_{t\ge0}$. We construct a process $H=(H_t)_{t\ge0}$, also predictable with respect to $\mathbb{F}^B$, such that $((H\cdot S)_t)_{t\ge 0}$ is a Brownian motion in its own filtration. Furthermore, for any $\delta>0$, we refine this construction such that the drift $(\mu_t)_{t\ge0}$ only takes values in $]\mu-\delta,\mu+\delta[$, for fixed $\mu>0$.

研究の動機と目的

• 非自明な予測可能 drift を持つブラウン運動が、予測可能な確率積分により標準ブラウン運動に変換可能であることを示すこと。
• 任意の $ \delta > 0 $ に対して、drift 过程 $ \mu_t $ が区間 $ ]\mu - \delta, \mu + \delta[ $ に収まるように保証することにより、drift のほぼ一定性を維持すること。
• 元のブラウン運動の自然 filtration に関して、drift と統合過程 $ H $ の両方が予測可能であることを維持すること。
• 変換が元の確率空間や filtration を変更せずに可能であることを確立すること。

提案手法

• ブラウン運動 $ B_t $ と、自然 filtration $ \mathbb{F}^B $ に適応する予測可能 drift 过程 $ \mu_t $ を定義する。
• 確率積分 $ (H \cdot S)_t $ がその自身の filtration に関してブラウン運動となるような予測可能過程 $ H_t $ を構築する。
• 時間変更またはギルサノフ型の議論を用いて、変換された過程がブラウン運動のマルティンググールおよび二次変動の性質を満たすように保証する。
• 適切に設計された有界で予測可能な過成 $ \mu_t $ を用いて、すべての $ t \geq 0 $ に対して $ \mu_t \in ]\mu - \delta, \mu + \delta[ $ となるように保証する。ここで $ \delta > 0 $ は任意である。
• 結果として得られる過程 $ (H \cdot S)_t $ が独立増分と連続パスを持つことを検証し、その自身の filtration におけるブラウン運動の定義を満たすことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非退化な予測可能 drift を持つブラウン運動が、予測可能な統合子を用いて標準ブラウン運動に変換可能か？
• RQ2 変換された過程のマルティンググール性を保ちつつ、drift を固定された正の値 $ \mu $ の周囲にどの程度局在化できるか？
• RQ3 元のブラウン運動の自然 filtration に関して、drift と統合子 $ H $ の両方が予測可能に保てるか？
• RQ4 変換された過程 $ (H \cdot S)_t $ は、その自身の filtration において標準ブラウン運動の有限次元分布を満たすか？

主な発見

• 元の過程 $ S_t $ が非自明な漂動を持つにもかかわらず、確率積分 $ (H \cdot S)_t $ はその自身の自然 filtration に関して標準ブラウン運動である。
• 任意の与えられた $ \delta > 0 $ に対して、drift 过程 $ \mu_t $ を区間 $ ]\mu - \delta, \mu + \delta[ $ に値をとるように構築可能であり、$ \mu > 0 $ は固定される。
• 統合過程 $ H $ は自然 filtration $ \mathbb{F}^B $ に関して予測可能であり、元の情報の流れに適合する構成が保証される。
• 変換は元の過程の標本パスの連続性と独立増分性を維持しており、出力が真のブラウン運動であることを保証する。