[論文レビュー] Hierarchical adaptive polynomial chaos expansions

Chu V., Bruno Sudret|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、高次元の不確実性量化におけるスパarsityと精度を向上させるために、継承原理を用いて段階的に多項式基底を拡張する階層的適応的多項式クラウド拡張（PCE）手法を提案する。適応的に基底関数を選択することで、低次の項およびそれらの相互作用を優先し、同じ実験設計サイズにおいて標準的なスパースPCE手法よりも計算コストを低減しながら、より高い精度を達成する。

ABSTRACT

Polynomial chaos expansions (PCE) are widely used in the framework of uncertainty quantification. However, when dealing with high dimensional complex problems, challenging issues need to be faced. For instance, high-order polynomials may be required, which leads to a large polynomial basis whereas usually only a few of the basis functions are in fact significant. Taking into account the sparse structure of the model, advanced techniques such as sparse PCE (SPCE), have been recently proposed to alleviate the computational issue. In this paper, we propose a novel approach to SPCE, which allows one to exploit the model's hierarchical structure. The proposed approach is based on the adaptive enrichment of the polynomial basis using the so-called principle of heredity. As a result, one can reduce the computational burden related to a large pre-defined candidate set while obtaining higher accuracy with the same computational budget.

研究の動機と目的

• 不確実性量化における高次元多項式クラウド拡張の計算負担を軽減すること。
• 複雑な高次元モデルにおけるスパース多項式クラウド拡張（SPCE）の精度とスパarsityを向上させること。
• 継承原理を活用した適応的基底拡張戦略を開発することにより、関連する多項式項を優先すること。
• 大きな事前定義された候補集合への依存を減らしながら、モデルの精度を維持または向上させること。
• 本手法の有効性を、非線形性や相互作用効果の程度が異なるベンチマーク問題に対して示すこと。

提案手法

• 本手法は、最小角回帰（LAR）と継承原理を組み合わせ、PCE構築中に段階的に多項式基底を拡張する。
• 継承原理により、高次の相互作用項が選択された場合、そのすべての低次の親項（例：主効果）も基底に含められるように保証される。
• 候補基底は事前に固定されず、低次の多項式から始めて段階的に適応的に構築される。
• 多項式項の包含構造を尊重する階層的切断スキームを採用する。
• 低ランクのハイパボリック切断を初期点とし、回帰係数と出力との相関に基づいて項を追加することで基底を精緻化する。
• 各ステップで最も関連性の高い項のみを動的に更新して基底集合を拡張し、すべての可能な多項式を全列挙する必要を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 継承原理に基づく適応的基底拡張戦略は、固定された候補集合を用いた標準的なスパースPCEを、高次元問題において上回ることができるか？
• RQ2 階層的適応的PCE手法は、従来のLARベースのSPCEと比較して、精度および計算効率の面で優れているか？
• RQ3 継承原理は、過学習や計算コストの増加を伴わずに、重要な相互作用効果をどれほど効果的に捉えるのに寄与するか？
• RQ4 標準的手法と比較して、より小さな実験設計でより高い精度を達成できるか？
• RQ5 強い非線形性と高次の相互作用を有する問題において、本手法はどのように性能を発揮するか？

主な発見

• Sobol’関数において、h-LARは200の実験設計点で検証誤差1.6×10⁻²を達成し、同じサイズの標準LAR（5.95×10⁻²）を上回った。
• Schwefel関数では、h-LARは1,000サンプルで相対検証誤差1.03×10⁻²を達成したのに対し、標準LARは2.2×10⁻²であった。これにより、精度の向上が明確に示された。
• 200の設計サイズにおいて、h-LARは154の基底関数を保持したのに対し、標準LARは37にとどまった。これは、より包括的な基底選択と、忠実度の高いモデルを示している。
• 大きな事前定義された候補集合を必要としないため、同じ計算予算でより高い精度を達成できた。
• 階層的構造により、特に高次の非線形モデルにおける相互作用効果の検出が向上した。
• 結果から、継承に基づく適応的拡張が、ヒューリスティックな切断スキームに依存しないより正確なPCEモデルの構築に寄与することが示された。