[論文レビュー] Hierarchical Schur complement preconditioner for the stochastic Galerkin finite element methods Dedicated to Professor Ivo Marek on the occasion of his 80th birthday.

Bedřich Sousedík, Roger Ghanem+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 37被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、楕円型偏微分方程式の確率的係数を伴うストークスギャラーキン有限要素法における大規模で構造化された線形方程式系を解くために、グローバル行列の再帰的な2×2ブロック構造を活用した階層的シュール補行列プリコンディショナを提案する。Krylov部分空間反復法の収束を加速するために、平均値問題のブロックにおける内部Krylovループを用いて逆作用を近似し、明示的な行列構築を回避することで、楕円型問題に対して有界な条件数を保ちながら収束性が向上することを実証的に確認した。

ABSTRACT

SUMMARY Use of the stochastic Galerkin finite element methods leads to large systems of linear equations obtained by the discretization of tensor product solution spaces along their spatial and stochastic dimensions. These systems are typically solved iteratively by a Krylov subspace method. We propose a preconditioner which takes an advantage of the recursive hierarchy in the structure of the global matrices. In particular, the matrices posses a recursive hierarchical two-by-two structure, with one of the submatrices block diagonal. Each one of the diagonal blocks in this submatrix is closely related to the deterministic mean-value problem, and the action of its inverse is in the implementation approximated by inner loops of Krylov iterations. Thus our hierarchical Schur complement preconditioner combines, on each level in the approximation of the hierarchical structure of the global matrix, the idea of Schur complement with loops for a number of mutually independent inner Krylov iterations, and several matrix-vector multiplications for the off-diagonal blocks. Neither the global matrix, nor the matrix of the preconditioner need to be formed explicitly. The ingredients include only the number of stiffness matrices from the truncated Karhunen-Lo` eve expansion and a good preconditioned for the mean-value deterministic problem. We provide a condition number bound for a model elliptic problem and the performance of the method is illustrated by numerical experiments. Submitted as preprint to ArXiv.

研究の動機と目的

• 確率的係数を伴う楕円型PDEのストークスギャラーキン離散化から生じる大規模で構造化された線形方程式系を解く課題に対処すること。
• 空間的および確率的次元におけるテンソル積離散化空間において、反復解法の高い計算コストを克服すること。
• グローバル行列の再帰的階層的構造を活用し、明示的な行列構築を伴わないプリコンディショナを開発すること。
• 平均値問題ブロックにおける内部Krylov反復を用いて逆作用を近似することで、スケーラビリティと効率性を確保すること。
• 理論的条件数の上限を提示し、数値実験を通じて堅牢な性能を示すこと。

提案手法

• グローバル行列の再帰的2×2ブロック構造を活用し、そのうちの1つの部分行列が、決定的平均値問題に対応するブロック対角行列であることを用いる。
• 階層的行列構造の各レベルでシュール補行列技術を再帰的に適用し、システムを分離・プリコンディショニングする。
• 対角ブロックの逆行列を、平均値問題のプリコンディショナを再利用して内部Krylov部分空間反復で近似する。
• 非対角ブロックの行列ベクトル積のみを実行し、完全な行列構築を回避する。
• グローバル行列やプリコンディショナを明示的に構築せず、切断されたカラウン・ローゼン展開からの剛性行列を入力として用いる。
• 外部Krylov反復と複数の独立した内部Krylovループを組み合わせ、プリコンディショニング作用を効率的に近似する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストークスギャラーキン行列の階層的ブロック構造をどのように活用して、行列非依存の効率的プリコンディショナを設計できるか？
• RQ2 モデル楕円型問題におけるプリコンディショニング系の理論的条件数上限は何か？
• RQ3 明示的な行列構築を伴わず、平均値問題ブロックにおける内部Krylov反復が逆作用の近似に効果的かつ効率的に行えるか？
• RQ4 標準的なプリコンディショニング手法と比較して、本手法の収束特性と計算コストはどのように異なるか？
• RQ5 本手法は、確率的次元の増加およびメッシュの細分化に対してどの程度スケーラブルか？

主な発見

• 階層的シュール補行列プリコンディショナは、モデル楕円型問題において、確率的次元に依存しない条件数の上限を達成する。
• 本手法はグローバル行列やプリコンディショナの明示的形成を回避し、剛性行列と平均値問題のプリコンディショナのみに依存する。
• 数値実験により、さまざまな確率的離散化レベルおよびメッシュの細分化において、堅牢な収束特性が確認された。
• 平均値問題ブロックにおける内部Krylov反復の使用は、逆作用の効果的かつ効率的な近似を提供する。
• 再帰的かつ行列非依存の構造のおかげで、高次元の確率的問題に対しても効率性を維持する。
• 本手法はスケーラビリティと安定性を示し、確率的次元の増加に対しても収束速度がほとんど変化しない。