[論文レビュー] Hierarchical stratification of Pareto sets

Alberto Lovison, Filippo Pecci|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2014

Advanced Multi-Objective Optimization Algorithms参考文献 34被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、多目的最適化におけるパレート集合の階層的構造を理解するための幾何的枠組みを提案している。滑らかで凸でない問題において、局所的パレート最適解の集合は、目的関数の数を $ m $ として、次元 $ 0 $ から $ m-1 $ の多様体からなるホイットニー局所化集合を形成することが示されている。主な貢献は、滑らかな関数の残渣的（一般的）クラスに対して、パレート集合が一般に局所化集合であることを証明したことであり、これにより低次元の部分問題への分解が可能となり、代数的条件およびロジャシエフ型不等式を用いた最適化戦略の指針が得られる。

ABSTRACT

In smooth and convex multiobjective optimization problems the set of Pareto optima is diffeomorphic to an $m-1$ dimensional simplex, where $m$ is the number of objective functions. The vertices of the simplex are the optima of the individual functions and the $(k-1)$-dimensional facets are the Pareto optimal set of $k$ functions subproblems. Such a hierarchy of submanifolds is a geometrical object called stratification and the union of such manifolds, in this case the set of Pareto optima, is called a stratified set. We discuss how these geometrical structures generalize in the non convex cases, we survey the known results and deduce possible suggestions for the design of dedicated optimization strategies.

研究の動機と目的

• 滑らかで凸でない多目的最適化問題におけるパレート集合の幾何的組織の理解を目的とする。
• 局所的パレート最適解の集合が、凸性にかかわらず一般にホイットニー局所化集合であることを確立すること。
• 階層的局所化に基づく低次元部分問題への多目的問題の分解の理論的基盤を提供すること。
• パレート集合の構造と実用的な最適化戦略、およびダーウィニズム的進化などの生物学的モデリングとの関連を結ぶこと。
• 計算上の実行可能性を高めるために、ポリノミアル不等式とロジャシエフ指数を用いてクーの $ v $-十分条件を再定式化すること。

提案手法

• 本稿は、特にメイアーの局所化集合およびホイットニー局所化の理論を用いた微分位相幾何学と特異点理論を用いて、パレート集合の構造を分析する。
• トムの横断的定理を適用し、滑らかな関数の残渣的集合に対して、ジャット空間内でのパレート集合がホイットニー局所化集合であることを示す。
• ジャット空間 $ j^q f $ 及び写像 $ f $ によるそのプッシュバックを分析し、パレート集合が部分写像の下での局所化集合の逆像であることを示す。
• 関数値およびその随伴微分の関数に依存する2つの多項式関数 $ \mathcal{R}_p $ と $ \mathcal{T}_p $ を用いて、$ v $-十分条件の再定式化を行う。
• この方法は、根の近傍における多項式の成長率を特徴づけることで $ v $-十分性を特定し、局所的ロジャシエフ指数と結びつける。
• 凸および非凸な設定における例を通じてフレームワークの妥当性を検証し、進化生物学における事例研究として応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで非凸な多目的最適化問題において、パレート集合はどのように構造化されているか？
• RQ2 局所的パレート最適解の集合がホイットニー局所化集合であるための条件は何か？
• RQ3 パレート集合の階層的分解は、より効果的な最適化戦略の設計に利用できるか？
• RQ4 ロジャシエフ指数は、$ v $-十分性およびパレート最適性を特徴づける上で果たす役割は何か？
• RQ5 パレート集合の幾何的構造は、進化生物学における逆問題（例：目的関数の同定）において、内在する目的関数の発見にどのように寄与できるか？

主な発見

• 滑らかで $ C^\mu $-滑らかな関数の残渣的集合（$ \mu > \min(n,m)+2 $）に対して、パレート集合はホイットニー局所化集合であり、次元 $ m-1 $、$ m-2 $、…、$ 0 $ の多様体からなる一般的構造を持つ。
• 局所的パレート最適解 $ \theta_{\text{op}} $ は、$ k = 1, \dots, m $ に対する $ k $-目的部分問題のパレート最適解に対応する局所化集合を有する。
• 局所化は、目的関数の小さな摂動に対しても安定しており、非局所化パレート集合は一般的ではなく不安定であることを示唆する。
• $ v $-十分性のクー条件は、関数およびその随伴微分に依存する多項式不等式 $ \mathcal{R}_p $ と $ \mathcal{T}_p $ を用いて再定式化可能であり、代数的検証が可能になる。
• 多項式の局所的ロジャシエフ指数は、根の近傍における成長率を決定し、クー条件の検証に不可欠であり、解析と幾何的構造を結びつける。
• 本フレームワークは、複雑な多目的問題をより単純な部分問題に分解する理論的基盤を提供し、数値的解法戦略の向上および進化生物学などの応用分野における解釈可能性の向上に寄与する。