[論文レビュー] Hierarchy of topological order from finite-depth unitaries, measurement and feedforward

Nathanan Tantivasadakarn, Ashvin Vishwanath+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2022

Sensor Technology and Measurement Systems被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有限深さのユニタリ操作、測定、フィードフォワードを用いて長距離もつれ状態を準備するのに必要な測定ショット数に基づき、位相的秩序の階層を確立する。非アーベル的量子二重の可解群（例：$D_4$、$Q_8$）は1ショットで準備可能であり、可解群の量子二重はクレーマース＝ヴァーナー双対性を用いて有限ショットで実現可能であることが示され、非可解な位相的秩序（例：フィボナッチ anyon）はいかなる有限ショット数でも準備不可能であることが判明——これは位相的相の新たな複雑性構造を明らかにする。

ABSTRACT

Long-range entanglement--the backbone of topologically ordered states--cannot be created in finite time using local unitary circuits, or equivalently, adiabatic state preparation. Recently it has come to light that single-site measurements provide a loophole, allowing for finite-time state preparation in certain cases. Here we show how this observation imposes a complexity hierarchy on long-range entangled states based on the minimal number of measurement layers required to create the state, which we call "shots". First, similar to Abelian stabilizer states, we construct single-shot protocols for creating any non-Abelian quantum double of a group with nilpotency class two (such as $D_4$ or $Q_8$). We show that after the measurement, the wavefunction always collapses into the desired non-Abelian topological order, conditional on recording the measurement outcome. Moreover, the clean quantum double ground state can be deterministically prepared via feedforward--gates which depend on the measurement outcomes. Second, we provide the first constructive proof that a finite number of shots can implement the Kramers-Wannier duality transformation (i.e., the gauging map) for any solvable symmetry group. As a special case, this gives an explicit protocol to prepare twisted quantum double for all solvable groups. Third, we argue that certain topological orders, such as non-solvable quantum doubles or Fibonacci anyons, define non-trivial phases of matter under the equivalence class of finite-depth unitaries and measurement, which cannot be prepared by any finite number of shots. Moreover, we explore the consequences of allowing gates to have exponentially small tails, which enables, for example, the preparation of any Abelian anyon theory, including chiral ones. This hierarchy paints a new picture of the landscape of long-range entangled states, with practical implications for quantum simulators.

研究の動機と目的

• 有限時間内に準備可能な最小の測定ショット数に基づき、長距離もつれ位相的秩序を分類すること。
• アディアバティックまたはユニタリ回路を超える位相的秩序状態を準備する際の、測定とフィードフォワードの役割を調査すること。
• 与えられた枠組み下で、いかなる有限ショット数でも準備可能な位相的秩序、および無限または非局所的資源を必要とするものを見極めること。
• 有限深さのユニタリ操作と測定の下で、準備可能か否かに応じて位相的等価クラスを定義し、新たな位相の同値クラスを確立すること。

提案手法

• ノルム類数2の群の非アーベル的量子二重を、1ショットで準備するプロトコルを、1サイト測定と有限深さユニタリ操作を用いて構築する。
• フィードフォワードを用いて、2回以上のショットで可解群のKramers-Wannier双対写像（ゲージ化写像）の測定ベース実装を導入する。
• 一般化されたクラスタ状態と因子系を用い、測定結果に条件づけられたユニタリ操作としてKramers-Wannier変換を導出する。
• 古典的測定結果に依存するフィードフォワードゲートを適用し、ターゲット位相的秩序のクリーンな基底状態を決定的に準備する。
• 指数的減衰を持つ準局所的ユニタリ操作の役割を分析し、アーベル的anyon理論（チャイナルを含む）への拡張を可能にする。
• 非局所的欠陥の生成に起因するノーガー議論を用いて、フィボナッチanyonや非可解な量子二重がいかなる有限ショット数でも準備不可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノルム類数2の非アーベル的位相的秩序は、測定と有限深さユニタリ操作を用いて1ショットで準備可能か？
• RQ2 可解な対称性群のKramers-Wannier双対写像を実装するのに必要な最小の測定ショット数は何か？
• RQ3 与えられた枠組み下で、いかなる有限ショット数でも準備不可能な位相的秩序は存在するか？
• RQ4 測定ショット数に応じた位相的秩序の測定等価クラスを、階層的に構造化できるか？
• RQ5 指数的減衰を持つ準局所的ユニタリ操作を含めると、準備可能なanyon理論の範囲はどのように変化するか？

主な発見

• ノルム類数2の可解群（例：$D_4$、$Q_8$）の量子二重は、装飾されたドメインウォールSPT状態の測定とフィードフォワードにより、決定的かつ1ショットで準備可能である。
• 可解群のゲージ化を実現する有限ショットプロトコルを、Kramers-Wannier双対写像を用いて構築し、ショット数は群の導出長さによって上界が与えられる。
• フィボナッチanyon理論は、いかなる有限ショット数でも準備不可能であり、それは有限深さ回路と測定では解消できない非局所的欠陥の生成を要するからである。
• 非可解な量子二重（例：$A_5$）は、測定等価クラスにおいて非自明な位相を定義しており、有限ショットでは準備不可能であることが示された。
• 指数的減衰を持つ準局所的ユニタリ操作を含めることで、アーベル的anyon理論（チャイナルを含む）すべてが準備可能であることが示され、準備可能領域が拡張された。
• 3+1次元でアーベル的0形式対称性を持つ2群ゲージ理論に対しても、1ショットプロトコルを構築し、nil-2量子二重構成の一般化が達成された。