[論文レビュー] Higgs bundles, Lagrangians and mirror symmetry

Lucas C. Branco|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 11

ひとこと要約

本学位論文は、非還元的スペクトル曲線を用いて、Higgs bundle とミラー対称性を研究し、特に SU*(2m)、SO*(4m)、Sp(m,m) の実形式に焦点を当てる。Hitchin ファイバーの一般化されたラインバンドルを用いた双対的記述を提供し、Langlands 双対モジュライ空間における BBB-brane のミラー双対を提案する。これにより、シンプレクティック幾何学とスペクトルデータを通じて、幾何学的 Langlands プログラムが前進する。

ABSTRACT

This thesis is dedicated to the study of certain loci of the Higgs bundle moduli space on a compact Riemann surface. Motivated by mirror symmetry, we give a detailed description of the fibres of the $G$-Hitchin fibration containing $G_0$-Higgs bundles for the real forms $G_0 = SU^*(2m)$, $SO^*(4m)$ and $Sp(m,m)$ of $G = SL(2m,\mathbb{C})$, $SO(4m,\mathbb{C})$ and $Sp(4m,\mathbb{C})$, respectively. The spectral curves associated to these fibres are examples of ribbons and our description is done in two different ways, one in term of objects on the reduced scheme associated to the spectral curve, while the other in terms of the (non-reduced) spectral curve. A link is provided between the two approaches. We use this description to give a proposal for the support of the dual BBB-brane inside the moduli space of Higgs bundles for the Langlands dual group of $G$, corroborating the conjectural picture. In the second part of the thesis we discuss Gaiotto Lagrangian subvarieties inside the moduli spaces of $G$-Higgs bundles, where $G$ is a complex reductive group. These Lagrangians are obtained from a symplectic representation of $G$ and we discuss some of its general properties. We then focus our attention to the Gaiotto Lagrangian for the standard representation of the symplectic group. This is an irreducible component of the nilpotent cone for the symplectic Hitchin fibration. We describe this component by using the usual Morse function on the Higgs bundle moduli space restricted to the Lagrangian in question. Lastly, we discuss natural questions and applications of the ideas developed in this thesis. In particular, we say a few words about the hyperholomorphic bundle, how to generalize the Gaiotto Lagrangian to vector bundles which admit many sections and give an analogue of the Gaiotto Lagrangian for the orthogonal group.

研究の動機と目的

• 再帰的群の実形式、特に SU*(2m)、SO*(4m)、Sp(m,m) の Hitchin ファイバーの構造を、非還元的スペクトル曲線を用いて理解すること。
• リボン上の一般化されたラインバンドルおよびその還元されたスキームを用いた、これらのファイバーの双対的記述を構築すること。
• Langlands 双対群の Higgs bundle モジュライ空間における BBB-brane のミラー双対を提案すること。
• 特にシミプレクティック群に対して、シンプレクティック Higgs bundle モジュライ空間における Gaiotto ラグランジュ部分多様体を研究すること。
• ベクトルバンドルに複数のセクションを許容する場合および直交群に対して、Gaiotto 構成を一般化すること。

提案手法

• Hitchin ファイブレーションと BNR 対応を用いて、Higgs バンドルをスペクトル曲線上の一般化されたラインバンドルに関連付ける。
• リボン（非還元的曲線）の理論を応用し、特に SU*(2m) の文脈で実形式のスペクトルデータを記述する。
• リボン上の一般化されたラインバンドルから還元された曲線へのノルム写像を用い、安定性およびファイバー構造を分析する。
• Higgs フィールドのノルムの二乗を用いたモース理論を応用し、シミプレクティックの場合の Gaiotto ラグランジュを記述する。
• 特にシミプレクティック群の標準表現に注目し、G のシミプレクティック表現から Gaiotto ラグランジュを構成する。
• Simpson のコンパクト化ジャコビアンおよび一般化ジャコビアンの理論を用いて、ノルムコーンの成分を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SU*(2m)、SO*(4m)、Sp(m,m) の実形式に対する Hitchin ファイバーは、非還元的スペクトル曲線を用いてどのように記述できるか？
• RQ2 Higgs バンドルの文脈において、リボン上の一般化されたラインバンドルの記述と還元されたスペクトル曲線との関係は何か？
• RQ3 シミプレクティック Hitchin ファイバーにおいて、Gaiotto ラグランジュがノルムコーンの既約成分としてどのように現れるか？
• RQ4 Langlands 双対群の Higgs バンドルモジュライ空間における BBB-brane の提案されるミラー双対は何か？
• RQ5 Gaiotto 構成は、複数のセクションを許容するベクトルバンドルおよび直交群へどのように一般化できるか？

主な発見

• SU*(2m) の Hitchin ファイバーは、リボン上の一般化されたラインバンドルのモジュライ空間として記述され、非還元的および還元的スペクトル曲線の記述の間で明確な関係が確立された。
• SU*(2m) において、ファイバーはスペクトル曲線のコンパクト化ジャコビアンに同型であり、ノルム写像が双対性の中心的役割を果たすことが示された。
• シミプレクティック群の Gaiotto ラグランジュは、Higgs フィールドが最大ランクをとるノルムコーンの既約成分として現れ、モジュライ空間上のモース関数によって特徴づけられる。
• 本研究は、スペクトルデータと実形式の双対性に基づき、Langlands 双対モジュライ空間における双対 BBB-brane のサポートを明示的な提案を提供する。
• Sp(2m,C) の標準表現に対する Gaiotto ラグランジュはノルムコーンの既約成分であることが示され、Higgs フィールドのノルムの二乗を用いた解析によってその構造が分析された。
• 本論文は、複数のセクションを許容するベクトルバンドルに対する Gaiotto ラグランジュを一般化し、直交群に対しても類似のアナロジーを提案し、シミプレクティックの場合を超えた枠組みを拡張した。