[論文レビュー] High-accuracy mesh-free quadrature for trimmed parametric surfaces and volumes

David Gunderman, Kenneth Weiss+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2021

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 56被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、一般化されたストークス定理を用いて、トリム付きパラメトリック表面および体積上での関数の統合を、メッシュフリーな数値積分スキームとして提示する。この定理により、体積または表面積分をトリミング曲線に沿った線積分に還元する。高次数の数値原始関数計算と数値積分を適用することで、幾何的近似誤差の範囲内で指数的収束を達成し、従来の手法に比べて、より少ない積分点数で顕著に高い精度と効率性を実現する。

ABSTRACT

This work presents a high-accuracy, mesh-free, generalized Stokes theorem-based numerical quadrature scheme for integrating functions over trimmed parametric surfaces and volumes. The algorithm relies on two fundamental steps: (1) We iteratively reduce the dimensionality of integration using the generalized Stokes theorem to line integrals over trimming curves, and (2) we employ numerical antidifferentiation in the generalized Stokes theorem using high-order quadrature rules. The scheme achieves exponential convergence up to trimming curve approximation error and has applications to computation of geometric moments, immersogeometric analysis, conservative field transfer between high-order curvilinear meshes, and initialization of multi-material simulations. We compare the quadrature scheme to commonly-used quadrature schemes in the literature and show that our scheme is much more efficient in terms of number of quadrature points used. We provide an open-source implementation of the scheme in MATLAB as part of QuaHOG, a software package for Quadrature of High-Order Geometries.

研究の動機と目的

• メッシュ分割を必要とせず、ドメイン分割を伴わない、頑健で高精度なトリム付きパラメトリック表面および体積の積分法の開発。
• 等離散化および埋め込まれた有限要素解析で一般的に見られる、複雑で高次のトリム付き幾何形状における統合の課題に対処する。
• 場の移行、モーメントフィッティング、マルチマテリアル初期化を含むシミュレーションにおける保存量の精度を向上させる。
• 表面または体積メッシュの作成を排除することで、頑健性を高め、事前処理の複雑さを低減する。

提案手法

• 本手法は、一般化されたストークス定理を用いて、d次元の体積または表面積分を、トリミング曲線に沿った(d−1)次元の線積分に還元する。
• 高次数の数値原始関数計算をガウス求積法により実装し、トリミング曲線に沿って高精度な原始関数を計算する。
• トリミング曲線は、IRITの曲線交差ソルバーにより得られた点集合に高次多項式セグメントをフィッティングすることで近似される。
• アルゴリズムは、原始関数を曲線の端点で評価し、寄与を合算することで積分を計算する。要素単位の分解を回避する。
• 本スキームは、記号的原始関数に依存せず、数値積分に依存するため、非記号的関数を含む任意の関数を扱える。
• 高次幾何形状の積分を実行するためのオープンソースMATLAB実装をQuaHOGとして提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メッシュ分割やドメイン分割を伴わず、トリム付きパラメトリック表面および体積に対して高次数の積分が可能か。
• RQ2 ストークス定理に基づく手法の収束速度は、標準的な積分スキームと比較して、積分点数と精度の観点でどのように異なるか。
• RQ3 高次数求積法による数値的原始関数計算が、任意関数の統合において指数的収束をどの程度達成できるか。
• RQ4 正確に表現されないトリミング曲線の近似を用いても、本手法が高精度を維持できるか。
• RQ5 本手法は、異なる幾何的複雑さと統合タスクにおいて、効率性と精度の点でどのようにスケーリングするか。

主な発見

• 提案された積分スキームは、トリミング曲線の近似誤差の範囲内で、積分点数に対して指数的収束を達成する。
• 同様の精度を達成するため、従来の手法に比べて著しく少ない積分点数を必要とし、優れた効率性を示す。
• 多項式被積分関数に対しても、記号的統合よりも高次数のガウス求積法による数値的原始関数計算が、事前処理時間において優れている。
• 高次数の曲線近似と数値的原始関数計算を組み合わせることで、正確なトリミング曲線の表現がなくても高精度を達成できる。
• 本手法は、トリム付き球面やユタ・ティーポットを含む多様な幾何形状に対して、頑健かつスケーラブルであり、統合量の保存を要請する応用にも対応できる。
• 性能ベンチマークの結果、10次数のガウス求積法による数値的原始関数計算は、多項式に対しても記号的統合よりも事前処理時間が速いことが判明した。