[論文レビュー] High-dimensional Central Limit Theorems by Stein's Method

Xiao Fang, Yuta Koike|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2020

Random Matrices and Applications参考文献 29被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、超長方形上での正規近似に対する明示的な誤差項を伴うSteinの方法を用いて、高次元中心極限定理を展開する。独立同分布の等方的確率的ベクトルで対象とし、対数凸密度関数を有する場合、誤差率は log n 要素を除き最適となる。Götzeの手法を応用し、Anderson ら（1998）の修正推定値と、Bhattacharya と Rao（1976）の滑らかさ不等式を統合する。

ABSTRACT

We obtain explicit error bounds for the $d$-dimensional normal approximation on hyperrectangles for a random vector that has a Stein kernel, or admits an exchangeable pair coupling, or is a non-linear statistic of independent random variables or a sum of $n$ locally dependent random vectors. We assume the approximating normal distribution has a non-singular covariance matrix. The error bounds vanish even when the dimension $d$ is much larger than the sample size $n$. We prove our main results using the approach of Götze (1991) in Stein's method, together with modifications of an estimate of Anderson, Hall and Titterington (1998) and a smoothing inequality of Bhattacharya and Rao (1976). For sums of $n$ independent and identically distributed isotropic random vectors having a log-concave density, we obtain an error bound that is optimal up to a $\log n$ factor. We also discuss an application to multiple Wiener-Itô integrals.

研究の動機と目的

• 次元 d が標本サイズ n より著しく大きい場合の高次元正規近似の課題に取り組む。
• 一般の依存構造下での超長方形上での多変量正規近似に対する明示的誤差項を提供する。
• 特に独立同分布の等方的ベクトルで対数凸密度関数を有する場合、既存の結果を改善する。
• Steinの方法を、Stein核を持つ確率的ベクトル、交換可能なペア、あるいは局所的依存構造を持つ場合へと拡張する。
• d ≫ n であっても誤差項が消える枠組みを確立し、高次元統計的推論を可能にする。

提案手法

• Steinの方法におけるGötze（1991）の手法を多変量正規近似に適応する。
• Anderson, Hall, Titterington（1998）の修正推定値を用いて依存性と尾部挙動を制御する。
• Bhattacharya と Rao（1976）の滑らかさ不等式を応用し、超長方形上での本質的上限を扱う。
• Stein核表現を用いて、W の分布を特徴づけ、独立成分やi.i.d.条件を必要としない。
• 交換可能なペアや局所的依存構造を用いたカップリング技術を用いて、i.i.d.設定を超える結果を拡張する。
• ガウス測度の反集中不等式を用いて、摂動された集合上での確率の差を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d ≫ n の場合に、超長方形上での高次元正規近似に対する明示的誤差項を導出可能か？
• RQ2 Steinの方法を、Stein核や交換可能なペアカップリングを持つ高次元確率的ベクトルへと拡張可能か？
• RQ3 独立同分布の等方的ベクトルで対数凸密度関数を有する場合、高次元正規近似における収束の最適レートは何か？
• RQ4 精密な推定値と滑らかさ技術を用いて、既存の結果を超える誤差項を改善可能か？
• RQ5 共分散行列の最小固有値が高次元中心極限定理の収束レートを決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 非特異共分散行列を有する一般の確率的ベクトルに対して、誤差項は $ C_0 \big( \frac{\tau^4 \text{log}^4(dn)}{n} \big)^{1/3} $ となる。Chernozhukov ら（2019）の $ ( \text{log}^5(dn)/n )^{1/4} $ の誤差項を改善する。
• 独立同分布の等方的確率的ベクトルで対数凸密度関数を有する場合、誤差項は $ C_0 \big( \frac{\text{log}^3 d}{n} \big)^{1/2} \text{log} n $ であり、log n 要素を除き最適である。
• 誤差項は $ d \gg n $ であっても消えるため、有効な高次元推論が可能である。
• 局所的依存構造や非線形統計量を含む広範な依存構造に適用可能である。
• 弱いモーメント条件のもとで頑健であり、次元が標本サイズに対して線形以下である必要がない。
• 複数のウィENER-ITO積分への応用が確立され、本手法の確率的解析分野における有用性が示された。