[論文レビュー] High Dimensional Combinatorial Random Walks and Colorful Expansion.

Tali Kaufman, David Mass|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、共通の(i+1)次元の面を共有するi次元の面の間を遷移する、単体複体上の高次元組合せ的ランダムウォークを導入する。この複体のリンクにおけるスペクトル的拡張性が、彩色的拡張性を示し、それがランダムウォークの高速混合を保証することを確立し、その収束が起こる明示的な有界次数の複体を構成する。

ABSTRACT

Random walks on expander graphs have been extensively studied. We define a high order combinatorial random walk on high dimensional simplicial complexes. This walk moves at random between neighboring i-dimensional faces (e.g. edges) of the complex, where two i-dimensional faces are considered neighbors if they share a common (i + 1)-dimensional face (e.g. a triangle). We prove that if the links of the complex are good spectral expanders, then the high order combinatorial random walk converges quickly. We derive our result about the convergence of the high order random walk by defining a new notion of high dimensional combinatorial expansion of a complex, which we term colorful expansion. We show that spectral expansion of the links of the complex imply colorful expansion of the complex, which in turn implies fast convergence of the high order random walk. We further show the existence of bounded degree high dimensional simplicial complexes which satisfy our criterion, and thus form an explicit family of high dimensional simplicial complexes in which the high order random walk converges rapidly. Our high order combinatorial random walk is different than the high order topological random walk that has recently been defined in [PR]. The topological random walk is associated with the concentration of the spectrum of the high order laplacian on the space that is orthogonal to the coboundaries, while we, in a sense, need to argue about the concentration of the spectrum on the space that is orthogonal to the constant functions, which is a much larger space.

研究の動機と目的

• グラフ上の古典的ランダムウォークを一般化する、単体複体上の新規な高次元ランダムウォークを定義すること。
• 高次元複体における高速混合ランダムウォークの欠如を解決するために、新しい拡張基準を導入すること。
• 単体複体のリンクのスペクトル的性質と高次ランダムウォークの収束速度との間の関係を確立すること。
• 高速混合ランダムウォークを有する明示的な有界次数の高次元複体の族を構成すること。

提案手法

• 共通の(i+1)次元の面を共有する隣接するi次元の面の間を移動する高次元組合せ的ランダムウォークを定義する。
• 単体複体のための新しい組合せ的拡張性として「彩色的拡張性」の概念を導入する。
• 単体複体のリンクにおけるスペクトル的拡張性が、複体自体の彩色的拡張性を示すことの証明を行う。
• 彩色的拡張性が高次ランダムウォークの高速混合をもたらすことを示す。
• リンクにおけるスぺクトルギャップの推定を用いて、ウォークの収束バウンドを導出する。
• スペクトル的リンク条件を満たす明示的な有界次数の単体複体を構成し、高速収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体複体上の高次元ランダムウォークは、その収束速度が局所的なスペクトル的性質によって制御されるように定義可能か？
• RQ2 どのような組合せ的拡張性がそのような高次ランダムウォークの高速混合を保証するか？
• RQ3 複体のリンクのスペクトル的性質は、複体全体の拡張挙動とどのように関係するか？
• RQ4 この高次ランダムウォークが高速に混合する明示的かつ有界次数の高次元複体が存在するか？
• RQ5 この高次組合せ的ランダムウォークは、ラプラシアン固有値に基づくトポロジカルランダムウォークと、挙動や解析においてどのように異なるか？

主な発見

• 単体複体のリンクにおけるスペクトル的拡張性は、複体自体の彩色的拡張性を示す。
• 彩色的拡張性は、高次組合せ的ランダムウォークの高速混合を保証する。
• ウォークの収束速度は、グローバルなラプラシアン固有スペクトルではなく、リンクのスぺクトルギャップによって制御される。
• スペクトル的リンク条件を満たす有界次数の高次元単体複体の明示的族が存在し、それらは高速混合ウォークを支持する。
• 高次組合せ的ランダムウォークは、定数関数の直交補空間上で動作するのに対し、トポロジカルランダムウォークはコバウンダリー上で動作するため、本質的にトポロジカルランダムウォークとは異なる。
• この解析フレームワークは、従来のトポロジカルランダムウォークモデルよりも広いクラスの空間に適用可能であり、高次元拡張性およびサンプリング分野における新たな応用を可能にする。