[論文レビュー] High Dimensional Random Walks and Colorful Expansion

Tali Kaufman, David Mass|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 23被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、単体複体上の高次元ランダムウォークを導入し、グラフ上の古典的ランダムウォークを高次元の単体へ一般化する。すべての高次元ランダムウォークの急速な混合を保証する局所的・グローバル的条件—すべての1次元リンクにおけるスペクトル拡張性—を確立し、ラマヌジャン複体がこの基準を満たすことを証明することで、すべての次元で速やかに収束する有界次数の単体複体の明示的族が得られる。

ABSTRACT

Random walks on bounded degree expander graphs have numerous applications, both in theoretical and practical computational problems. A key property of these walks is that they converge rapidly to their stationary distribution. In this work we {\em define high order random walks}: These are generalizations of random walks on graphs to high dimensional simplicial complexes, which are the high dimensional analogues of graphs. A simplicial complex of dimension $d$ has vertices, edges, triangles, pyramids, up to $d$-dimensional cells. For any $0 \leq i < d$, a high order random walk on dimension $i$ moves between neighboring $i$-faces (e.g., edges) of the complex, where two $i$-faces are considered neighbors if they share a common $(i+1)$-face (e.g., a triangle). The case of $i=0$ recovers the well studied random walk on graphs. We provide a {\em local-to-global criterion} on a complex which implies {\em rapid convergence of all high order random walks} on it. Specifically, we prove that if the $1$-dimensional skeletons of all the links of a complex are spectral expanders, then for {\em all} $0 \le i < d$ the high order random walk on dimension $i$ converges rapidly to its stationary distribution. We derive our result through a new notion of high dimensional combinatorial expansion of complexes which we term {\em colorful expansion}. This notion is a natural generalization of combinatorial expansion of graphs and is strongly related to the convergence rate of the high order random walks. We further show an explicit family of {\em bounded degree} complexes which satisfy this criterion. Specifically, we show that Ramanujan complexes meet this criterion, and thus form an explicit family of bounded degree high dimensional simplicial complexes in which all of the high order random walks converge rapidly to their stationary distribution.

研究の動機と目的

• 高次元単体複体上の高次ランダムウォークを定義・研究し、グラフ上の古典的ランダムウォークを一般化すること。
• すべての次元にわたる高次ランダムウォークの急速な混合を保証する、複体における局所的条件を同定すること。
• すべての高次ランダムウォークがその定常分布に速やかに収束する、有界次数の単体複体の明示的族を構成すること。
• 新しい「カラフル拡張性」という概念と、高次ランダムウォークの収束速度との間の関係を確立すること。

提案手法

• 次元$d$の単体複体上での高次ランダムウォークを定義し、$0 \leq i < d$に対して、共通の$(i+1)$-単体を共有する$i$-単体間の遷移を扱う。
• $i$-単体のインシデント関係をインデックスとする隣接行列$A_i$を導入し、ウォークの遷移ダイナミクスをモデル化する。
• 局所的・グローバル的基準を確立：複体のすべてのリンクの1次元スケルトンがスペクトル拡張子であれば、すべての高次ランダムウォークは急速に混合する。
• 「カラフル拡張性」を、グラフ拡張の組合せ論的一般化として定義し、高次ウォークの混合速度と直接的に関連付ける。
• リンクの1次元スケルトンにおけるスペクトル拡張性が、スペクトルギャップとウォークの収束速度の関係を通じて、急速な混合を示す。
• ラマヌジャン複体がスペクトルリンク条件を満たすことを示し、有界次数の単体複体の明示的族として、高速混合の高次ランダムウォークを持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界次数の単体複体上で、速やかに混合する高次元グラフランダムウォークの類似物を定義できるか？
• RQ2 単体複体におけるどのような局所的条件が、すべての次元にわたる高次ランダムウォークの急速な混合を保証するか？
• RQ3 リンク複体のスペクトル拡張性は、高次ランダムウォークの収束速度とどのように関係するか？
• RQ4 すべての高次ウォークが速やかに混合する、明示的かつ有界次数の高次元複体の族は存在するか？
• RQ5 「カラフル拡張性」という新しい組合せ論的拡張概念は、高次ランダムウォークの混合行動を特徴づけられるか？

主な発見

• 単体複体のすべてのリンクの1次元スケルトンがスペクトル拡張子であれば、その複体上のすべての高次ランダムウォークは、定常分布に急速に混合する。
• 高次ランダムウォークの混合速度は、$ \sqrt{\frac{d_{\text{max}}}{d_{\text{min}}}} \lambda^t $ で抑えられ、ここで$ \lambda = \max\{ |\lambda_2|, |\lambda_n| \} $ は正規化された隣接行列の2番目に大きな固有値の絶対値である。
• カラフル拡張性は、グラフにおける組合せ論的拡張の自然な一般化として導入され、高次ウォークの急速な混合と同値であることが示された。
• ラマヌジャン複体はスペクトルリンク条件を満たし、有界次数の高次元単体複体の明示的族として、高速混合の高次ランダムウォークを持つ。
• 本結果により、局所的基準（リンクにおけるスペクトル拡張性）がグローバルな高速混合を示すことが示され、高次元拡張における局所的・グローバル的原理が確立された。
• 本フレームワークにより、グラフ上の古典的ランダムウォーク理論が高次元へ拡張され、符号理論、性質テスト、PCP構築への応用における新たなツールが提供された。