[論文レビュー] HIGH DIMENSIONAL WILKS PHENOMENA IN RANDOM GRAPH MODELS

Ting Yan, Jinfeng Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2011

Random Matrices and Applications参考文献 28被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、頂点数が増加するがエッジごとの試行回数が固定されている高次元ランダムグラフモデル（特にErdős–Rényi（p-モデル）とBradley-Terryモデル）において、尤度比検定のWilks型漸近的カイ二乗分布を確立している。主な貢献は、次元が発散するランダムグラフ設定への古典的Wilksの結果の拡張であり、シミュレーションと実データ応用によって検証されている。

ABSTRACT

In the classical parametric hypothesis testing problems, the asymptotical null distribution of minus twice log-likelihood ratio test converges to the chi-square distribution independent of redundant parameters due to Wilks (1938). This phenomena is not monopolized by fixed dimension problems. Several authors derived similar results for some models when both the sample size and the number of parameters go to infinity simultaneously. In this paper, we show Wilks type of theorems in simple random graph models, which are known as the �-model in the undirected case and the Bradley-Terry model in the directed case, when the number of graphic vertices goes to infinity and the number of statistical experiments for each edge is a fixed constant. Numerical studies and a data application are carried out to demonstrate the theoretical results.

研究の動機と目的

• 尤度比検定統計量が漸近的にカイ二乗分布に従うというWilksの現象が、高次元ランダムグラフモデルにおいて成り立つかどうかを調査すること。
• エッジごとの試行回数が一定のまま、頂点数とパラメータ数が無限大に増加する状況における尤度比検定の挙動を検討すること。
• 固定次元パラメトリックモデルからの古典的Wilks型結果を、次元が増加するランダムグラフモデルへ一般化すること。
• 理論的結果を数値的シミュレーションと実データ応用によって検証すること。

提案手法

• 高次元漸近的設定下で、p-モデル（無向ランダムグラフモデル）およびBradley-Terryモデル（有向ランダムグラフモデル）における尤度比検定統計量を分析する。
• 頂点数n → ∞ かつエッジごとの独立試行回数が固定されるという設定を想定し、パラメータ数が発散する状況を考察する。
• 帰無仮説下での対数尤度比統計量の漸近的分布を導出し、カイ二乗分布への収束を示す。
• ランダムグラフの漸近的理論を用いて、次元が増加するモデルにおけるWilks型性質を確立する。
• テスト統計量がカイ二乗分布に収束することを示す数値的シミュレーションを実施する。
• 実データセットに手法を適用し、実用的意義と経験的妥当性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 尤度比検定統計量がカイ二乗分布に収束するというWilksの現象が、高次元ランダムグラフモデルにおいて成り立つかどうか。
• RQ2 頂点数が大きく、エッジごとの試行回数が固定される状況において、対数尤度比の漸近的分布はどのように振る舞うか。
• RQ3 高次元漸近的設定下で、古典的Wilksの定理がp-モデルおよびBradley-Terryモデルへ拡張可能か。
• RQ4 これらのモデルにおける有限標本での尤度比検定の経験的性能はいかがなものか。

主な発見

• p-モデルおよびBradley-Terryモデルにおける尤度比検定統計量は、帰無仮説下で頂点数が無限大に増加する際も、漸近的にカイ二乗分布に従う。
• エッジごとの試行回数が固定されている限り、パラメータ数が増加してもカイ二乗分布への収束が成立する。
• 数値的分析により、頂点数が増加するに従い、有限標本におけるテスト統計量の分布がカイ二乗分布に非常に近づくことが確認された。
• 実データ応用により、理論的結果が現実のネットワークデータに経験的に適用可能であることが示された。
• 結果として、Wilksの古典的定理が固定次元モデルにとどまらず、次元が発散するランダムグラフモデルへ拡張された。
• 理論的枠組みは、有効な漸近的性質を備えた高次元ネットワーク推論における尤度比検定の使用を支持する。