[論文レビュー] High energy sign-changing solutions to Schrödinger-Poisson type systems

Cyril Joël Batkam|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、対称的マウンテン・パス定理の符号変化型を用いて、有界領域におけるシュレーディンガー＝ポアソン系に対して、無限に多くの高エネルギー符号変化解の存在を確立する。符号変化型の新しい変分的枠組みにより、臨界非線形性および亜臨界非線形性の両方において、エネルギーが任意に高い解が存在することを証明し、従来の結果（亜臨界成長または符号変化なしの解に限られていた）を拡張する。

ABSTRACT

We prove the existence of infinitely many high energy sign-changing solutions for some classes of Schrodinger-Poisson systems in bounded domains, with nonlinearities having subcritical or critical growth. Our approach is variational and relies on an application of a new sign-changing version of the symmetric mountain pass theorem.

研究の動機と目的

• 有界領域におけるシュレーディンガー＝ポアソン系に対して、無限に多くの高エネルギー符号変化解の存在を確立すること。
• 臨界成長非線形性を許容することで、符号変化解に関する従来の結果を拡張すること。
• 臨界非線形性条件下における高エネルギー符号変化解の存在という未解決問題に取り組むこと。
• 符号変化型の対称的マウンテン・パス定理に基づく新しい変分的アプローチを開発し、適用すること。
• フォンテーヌイン・定理の枠組みを一般化し、シュレーディンガー＝ポアソン系における符号変化解を扱えるようにすること。

提案手法

• バースチのフォンテーヌ定理をモデルにした、新しい符号変化型臨界点定理が適用される。これは降下フロー下での不変集合を扱うために設計されている。
• 変分的枠組みは、シュレーディンガー＝ポアソン系に関連するエネルギー汎関数に基づき、シュレーディンガー方程式とポアソン方程式の両方を統合する。
• 変形補題とフロー不変集合の構築に依存することで、符号変化臨界点の存在を保証する。
• パラメータ依存系 (SP)λ が導入され、臨界ケースでは λ→0+ として高エネルギー解を回復する。
• 証明は、奇関数の変形リトラクションと位相的議論を用いて、臨界点定理の条件を検証する。
• 非線形項 f は (f1)-(f4) を満たし、亜臨界成長、臨界成長 (p=6)、および奇対称性を含む。これにより符号変化解の存在が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界領域における臨界非線形性を有するシュレーディンガー＝ポアソン系に対して、無限に多くの高エネルギー符号変化解が存在することを証明できるか？
• RQ2 対称的マウンテン・パス定理は、シュレーディンガー＝ポアソン系に適用可能な符号変化型を有するか？
• RQ3 非線形項 f にどのような条件を課すと、臨界成長が存在する場合でも高エネルギー解の存在が保証されるか？
• RQ4 系のエネルギー汎関数が、発散するエネルギーを持つ符号変化臨界点の列を有することを示せるか？
• RQ5 臨界項 u^5 や u^6 にパラメータ λ を導入した場合、符号変化解の存在およびエネルギー水準にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 亜臨界ケース (λ=0) では、エネルギー汎関数が k→∞ で無限大に発散する符号変化解 (uk, φk) の列が存在することを証明した。
• 臨界ケースでは、λk→0+ となる列 (λk, uk, φk) が存在し、解のエネルギー汎関数が k→∞ で無限大に発散する。
• 解 uk は符号変化であり、領域 Ω 内で符号を変える。非自明な解である。
• 特に亜臨界ケースにおいて、従来の手法よりも簡潔な証明が可能である。これは以前に主張されていたが、完全に確立されていなかった。
• 結果として、臨界領域への符号変化解の存在が従来の亜臨界領域を超えて拡張され、臨界非線形性における未解決問題が解決された。
• このアプローチは強固であり、亜臨界および臨界成長非線形性の両方へ適用可能である。これにより、新しい符号変化型臨界点定理の柔軟性が示された。