[論文レビュー] High Energy Solutions to $p(x)-$Laplacian Equations of Schrödinger type

Liu, Duchao, Wang, Xiaoyan+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、関数族とFountain定理を用いて、$\mathbb{R}^N$ 上の $p(x)$-Laplacian シュレーディンガー型方程式に対して高エネルギー解の列の存在を確立している。非線形項に新たな仮定を導入することで、有界なPalais-Smale系列が保証され、これらの系列が臨界点に収束することを証明した。これにより、可変指数Sobolev空間の枠組みにおいて無限個の高エネルギー解が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we investigate nonlinear Schr$\ddot{o}$dinger type equations in $R^N$ under the framework of variable exponent spaces. We propose new assumptions on the nonlinear term to yield bounded Palais-Smale sequences and then prove the special sequences we find converge to critical points respectively. The main arguments are based on the geometry supplied by Fountain Theorem. Consequently, we show that the equation has a sequence of solutions with high energies.

研究の動機と目的

• $\mathbb{R}^N$ 上の $p(x)$-Laplacian シュレーディンガー型方程式に対して、無限個の高エネルギー解の存在を確立すること。
• 無限大領域におけるコンパクト性の欠如を克服するため、非線形項 $f(x,u)$ に新たな構造的仮定を導入すること。
• 本来のエネルギー汎関数に関連する関数族に対して、有界なPalais-Smale系列の存在を保証すること。
• 可変指数Sobolev空間におけるFountain定理を適用し、高エネルギー解に対応する臨界値を特定すること。
• 特殊なPalais-Smale系列が、エネルギー汎関数 $\Phi$ の実際の臨界点に収束することを証明すること。

提案手法

• $|Du|^{p(x)}$ および $V(x)|u|^{p(x)}$ を含むノルムを備えた空間 $E = \{u \in W^{1,p(x)}(\mathbb{R}^N) : \int_{\mathbb{R}^N} V(x)|u|^{p(x)}dx < \infty\}$ を定義する。
• $\lambda \in [1,2]$ をパrameterとする関数族 $\Phi_{\lambda}(u)$ を構成し、$\lambda$ が非線形項 $f(x,u)$ をスケーリングすることを用いる。
• Fountain定理の枠組みを用いて、高エネルギー解に対応する臨界値の列 $c_k$ を特定する。
• $\Phi_{\lambda_n}$ の任意の $(PS)_{c_k}$ 系列が有界であることを保証するため、$f(x,u)$ に (C1)-(C4) の構造的仮定を導入する。
• $\Phi_{\lambda_n}$ の有界な $(PS)_{c_k}$ 系列が、部分列を除いて、元の汎関数 $\Phi$ の臨界点に強く収束することを証明する。
• 可変指数空間におけるFatouの補題とコンパクト埋め込み定理を用いて、弱収束の極限が消える場合の矛盾を導出し、非自明な収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形項 $f(x,u)$ がどのような条件下で、$\mathbb{R}^N$ 上の $p(x)$-Laplacian シュレーディンガー方程式が高エネルギー解の列を有するか。
• RQ2 可変指数空間における $p(x)$-Laplacian 方程式のエネルギー汎関数に対して、有界なPalais-Smale系列をどのように構成できるか。
• RQ3 $f(x,u)$ にどのような構造的仮定を置けば、関数族のPalais-Smale系列が元の汎関数の臨界点に収束するか。
• RQ4 Fountain定理は可変指数Sobolev空間において、無限個の高エネルギー解を導くのに効果的に適用可能か。
• RQ5 条件 $(V)$ を満たすポテンシャル $V(x)$ が、$E$ の $L^{q(x)}(\mathbb{R}^N)$ への埋め込みのコンパクト性を回復するために果たす役割は何か。

主な発見

• $\mathbb{R}^N$ における方程式 $-\text{div}(|Du|^{p(x)-2}Du) + V(x)|u|^{p(x)-2}u = f(x,u)$ は、エネルギーが無限大に発散する解の列 $\{u_n\}$ を有する。
• 有界なPalais-Smale系列を保証する新たな仮定 (C1)-(C4) を $f(x,u)$ に導入することにより、このような高エネルギー解の存在が確立される。
• 方程式に関連する汎関数 $\Phi$ は、Fountain定理が要求する幾何的条件を満たしており、臨界値 $c_k$ の特定が可能である。
• $k$ が十分に大きい各 $k$ に対して、特別な有界な $(PS)_{c_k}$ 系列 $\{u^k(\lambda_n)\}$ が構成され、それが $\Phi$ の臨界点に強く収束することが証明される。
• 収束は、$\lambda_n \in [1,2]$ であることとFatouの補題を用いた背理法によって保証され、エネルギーが無限大へ逃げるのを防ぐ。
• $V(x)$ が $(V)$ を満たす、すなわち $V(x) \geq V_0 > 0$ かつすべての $M > 0$ に対して $\{x : V(x) \leq M\}$ が有限測度を持つという条件下で、この結果は成り立つ。これにより、可変指数空間におけるコンパクト埋め込みが可能になる。