[論文レビュー] High frequency integrable regimes in nonlocal nonlinear optics

Antonio Moro, B. G. Konopelchenko|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2006

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 44被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Cole-Cole型の非局所非線形媒質における高周波数光ビームの統合可能なモデルを提案する。このモデルは、マクスウェル方程式および非局所非線形シュレーディンガー方程式の高周波数極限として導出され、分散なしのVeselov-Novikov（dVN）階層を用いて自己ガイド光ビームの存在を示し、非局所幾何光学と擬等角写像の間の深い関係を、準古典的 $\bar{\partial}$-ドレスティング法によって明らかにする。

ABSTRACT

We consider an integrable model which describes light beams propagating in nonlocal nonlinear media of Cole-Cole type. The model is derived as high frequency limit of both Maxwell equations and the nonlocal nonlinear Schroedinger equation. We demonstrate that for a general form of nonlinearity there exist selfguided light beams. In high frequency limit nonlocal perturbations can be seen as a class of phase deformation along one direction. We study in detail nonlocal perturbations described by the dispersionless Veselov-Novikov (dVN) hierarchy. The dVN hierarchy is analyzed by the reduction method based on symmetry constraints and by the quasiclassical Dbar-dressing method. Quasiclassical Dbar-dressing method reveals a connection between nonlocal nonlinear geometric optics and the theory of quasiconformal mappings of the plane.

研究の動機と目的

• 非局所非線形光学における高周波数近似下での統合可能領域の特定。
• Cole-Cole媒質における弱い非局所性が、伝搬方向に沿った位相変形として果たす役割の分析。
• 非局所幾何光学と平面の擬等角写像との間の関係の確立。
• 楕円型条件を満たす一般の非線形応答を有するクラスにおいて、自己ガイド光ビームの存在の証明。
• 標準的な幾何光学近似を超えて、らせん状波面における位相特異点および波面不連続性の構造の探求。

提案手法

• マクスウェル方程式および非局所非線形シュレーディンガー方程式の高周波数極限を導出し、非局所位相補正を含む幾何光学モデルを獲得する。
• $\omega^{-\alpha}$における漸近展開を用いて、非局所摂動を波成分から分離し、$S_x$および$S_y$に関する多項式として扱う。
• 対称性制約と準古典的 $\bar{\partial}$-ドレスティング法を用いて、分散なしのVeselov-Novikov（dVN）階層を分析する。
• 非局所性と横方向位相勾配の多項式次数との間の一対一対応を確立する。
• Beltrami方程式と $\bar{\partial}$-ドレスティング形式を用いて、解と複素平面における擬等角写像を結びつける。
• 位相反転対称性（$S \to -S$）を課すことにより、dVN階層を非線形偏微分方程式系としての統合可能系として導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所非線形光学において高周波数近似下に統合可能領域が出現しうるか？
• RQ2 Cole-Cole媒質における非局所摂動が、伝搬方向に沿った光ビームの位相進化にどのように影響するか？
• RQ3 分散なしVeselov-Novikov階層は、非局所媒質における自己ガイド光ビームを記述するために果たす役割は何か？
• RQ4 幾何光学を超えて、らせん状波面における位相特異点および波面不連続性はどのように記述されるか？
• RQ5 非局所幾何光学と擬等角写像との間の数学的・物理的関係は何か？

主な発見

• 楕円型条件を満たす一般の非線形応答を有する非局所非線形媒質において、自己ガイド光ビームが存在する。
• $z$-方向に沿った非局所摂動は、$S_x$および$S_y$に関する多項式として記述され、多項式次数と非局所性の強さとの間に一対一対応が存在する。
• dVN階層は、位相反転対称性を保存する非局所位相歪みを記述する統合可能系として出現する。
• 準古典的 $\bar{\partial}$-ドレスティング法により、Beltrami方程式を通じて、非局所幾何光学と擬等角写像との直接的な関係が明らかになった。
• らせん状波面における位相特異点は、幾何光学モデルにおいて強度の爆発を引き起こし、スクリーンコア付近で近似が破綻することを示唆する。
• 本モデルは、従来の研究で考慮されていなかった非自明な特異位相構造の存在を予測しており、非局所媒質におけるダークソリトンとの潜在的関係を示唆している。